索末菲橢圓軌道理論

索末菲橢圓軌道理論Sommerfeld's elliptical orbit theory,是德國物理學家A.索末菲在玻爾氫原子理論基礎上發展的理論,建於1916年。

基本介紹

  • 中文名:索末菲橢圓軌道理論
  • 外文名:Sommerfeld's elliptical orbit theory
  • 提出者:A.索末菲
  • 提出時間:1916年
簡介,計算方法,

簡介

索末菲橢圓軌道理論
玻爾原來的理論僅考慮氫原子中電子繞核作圓軌道運動,索末菲推廣考慮了橢圓軌道。平面橢圓軌道有兩個自由度,需要兩個量子化條件,空間橢圓軌道則需要3個量子化條件 。 索末菲採用推廣了的玻爾量子化條件 ,得出氫原子系統的能量是量子化的 , 仍由主量子數n確定 ,與玻爾理論結果相同,而氫原子的角動量由角量子數確定 ,相同主量子數不同橢圓軌道上的角動量不同,且是量子化的,橢圓形狀也是量子化的;在三維情形下,橢圓軌道以及角動量的空間取向也是量子化的。索末菲還進而考慮電子在橢圓軌道上運動速度變化引起的相對效應,得出氫原子能級的精細結構,與實驗結果相符。
索末菲理論屬於前期量子論,其中仍保留了電子運動軌道的概念,不同於後來發展起來的量子力學概念,而且某些結果的細節也與實際不符。

計算方法

A.索末菲在玻爾氫原子理論的圓軌道基礎上發展了橢圓軌道理論,認為電子在核的庫侖場中運動,其軌道一般應為橢圓。索末菲假定在極坐標系中電子的允許軌道必須滿足兩個量子條件(圖1) ,
(圖1)(圖1)
式中nnr都是正整數,分別稱為角量子數和徑量子數。核庫侖吸引力是一種有心力,故電子的角動量p在周期運動中為恆量(圖2)。
(圖2)(圖2)
利用這一關係,再用經典力學中粒子作橢圓軌道運動時總能量關係,算得氫原子中電子在橢圓軌道上的總能量為(圖3),式中me是電子的質量,Z是原子核電荷數,e是電子的電荷量,ε0是真空介電常數, h是普朗克常數。如果令n
(圖3)(圖3)
=nr+n,則電子在橢圓軌道上的能量與相應的玻爾軌道上的能量相同。整數 n稱為主量子數。並且算得橢圓軌道的半長軸a為(圖4)。半長軸a和半短軸b的關係為(圖5) 。 對每一個半長軸,都有n個不同半短軸的軌道,按克卜勒定律,作橢圓軌道運動粒子的能量只和長軸有關,故這些軌道上的電子具有相同的能量(圖6), En只與n有關, 與n無關。
(圖4)(圖4)
(圖5)(圖5)
(圖6)(圖6)
(圖7)(圖7)
考慮到電子質量的相對論效應,在偏心率不同的軌道上的影響是不同的,索末菲詳細推導了相對論效應中電子能量,得到(圖7),式中μ為電子與核的靜折 合質量,R為該原子的里德伯常數,с為真空中光速(圖8),
(圖8)(圖8)
稱為精細結構常數。可見,相對論效應使得主量子數n相同,但角量
子數n不同的橢圓軌道具有不同的能量,即同一個n值所標示的能級將分裂為n個相近的能級。據此也能解釋光譜的精細結構。 1926年L.H.托馬斯首先根據G.E.烏倫貝克電子自旋的假設,考慮到自旋軌道相互作用和相對論坐標變換效應,成功地解釋了氫原子光譜精細結構譜線分裂。1927年P.A.M.狄喇克的相對論量子力學理論直接得到了 相似的結果(圖9)(圖10),式中j取值和(l-1/2),稱總角動量量子數。狄喇克理論不僅能較好地定量解釋氫原子光譜的精細結構,而且可直接導出電子的自旋磁矩。
(圖10)(圖10)
(圖9)(圖9)

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