基本介紹
- 中文名：紐曼代數
- 外文名：Newman algebra
- 適用領域：代數
- 所屬學科：數學
- 提出者：紐曼(M.H.A.Newman)
- 簡介：一種推廣的布爾代數
基本介紹,相關性質及證明,
基本介紹
紐曼代數是一種推廣的布爾代數，它放棄了交換性與結合性的公理，在紐曼代數中，有一個關於兩個運算+與·封閉的集N.
設〈A；+，·，′〉為代數系統，其運算系統如下：
1.對任何a，b，c∈N，有
a·(b+c)=(a·b)+(a·c)，
(a+b)·c=(a·c)+(b·c)；
2.存在一個元素1∈N，使對一切a∈N，有
a·1=a；
3.存在一個元素0∈N，使得對一切a∈N，有
a+0=a=0+a=a；
4.對每個a∈N，至少有一個補a′∈N與之對應，使得a·a′=0，a+a′=1。
則稱〈A；+，·，′〉為紐曼代數。
如果在紐曼代數中定義2=1+1，且稱2的左倍數a·2為偶元素，那么可以證明：〈A，+，·，′，0，2〉構成一個布爾代數，其中A為全體偶元素，紐曼代數是紐曼(M.H.A.Newman)於1941年提出的。
相關性質及證明
紐曼代數是布爾代數的推廣。為方便,在實際計算中往往省略符號。
若a∈A,則aa=a、(a')'=a.
因為
aa = aa+0= aa+aa'=a(a+a')=a·1=a
而
(a')'=0+ (a')'(a')'=a'(a')'+(a' )'(a')'=[a' + (a' )'](a' )'
=1·(a')'=(a+a')(a')'=a(a')'+0=0+a(a' )'
=aa'+a(a')'=a[a'+(a')']=a·1=a
所以aa=a、(a')'=a。也可推出1·a=a,由於
1·a=(a+a' )a=aa+a'a=a+0=a
容易證明補元是唯一的。 設a有兩個補元a'、a*,則
a*=a*·1=a*(a+a')=a*a'+a*a=a*a'+0=a*a'+aa'
=(a*+a)a'=1·a'=a'
從1+0=1及補元唯一性,得0=1'，0'=1。
對所有a應有a·0=0·a=0。這是由於
0=aa' =a(a'+0)=aa'+a·0=0+a·0=a·0
又
0=bb'=(0+b)b'-0·b'+bb'=0·b'+0=0·b'
若對任意a,取b=a' ,則b'=a,導出0·a=0.
如果定義2=1十1,那么
2+2=2·1+2·1=2·(1+1)=2·2=2
稱2的左倍數a2為偶元素.若且唯若a+a=a吋元素a是偶的,因為若a=b2，則a+a=b(2+2)= b2。又因a+a=a,推導出a=a+a=a·1+a·1=a·(1+1)=a2,於是a為偶元素。這表明偶元素的加法是冪等的。
任意的偶元素的任何左倍數或右倍數是偶的,由於當a是偶的時可得a=a+a,有
ab=(a+a)b=ab+ab
表明ab為偶的,而
ba=b(a+a)=ba+ba
表明ba為偶的。
注意等式(a+b)2=a2+b2、(ab)2= (a2)(b2)、(a2)2=a2成立。所以偶元素集合對加法、乘法運算是封閉的。從分配性即得(a+b)2=a2+b2。另外，
(a2)(62)=(a+a)(b+b)=(a+a)b+(a+a)b
=(ab+ab)+ (ab+ab)= ab2 +ab2=ab2
此外,當a是偶元素時
a+1 =(a+1)·1=(a+1)(a+a' )= (aa+a)+(aa'+a' )
=(a+a)+(0+a' )=a+a'=1
同理1+a=1。應有
a2+2=a2+1·2=(a+1)2=1·2=2
類似有2+a2=2。
當認為紐曼代數的加法、乘法相當于格定義的代數系統中的加法、乘法運算時,偶元素就構成了一個以2為單位元素的分配格,在此格中a'2為a2的補元素;因為a2+a'2=(a+a')2=1·2=2、(a2)(a'2)=(aa')2=0,且2的補元為0,於是偶元素構成了有補分配格,即布爾代數。
當然紐曼代數的加法是可交換的、可結合的。若a + b=0,則a=b並有b+a=0。事實上,
a=a(b'+b)=ab'+ab= (ab'+bb')+ab
=(a+b)b'+ab=0·b'+ab=ab
同理
b=(a'+a)b=(a'a+a'b)+ab=ab
即 a=b、b+a=a+b=0。:
對任意a、b,設c=(a+ b)'、d=(b+a)'、則
a+b=(a+b)·1=(a+b)(d+d')= (a+b)d+c'd'
但是0= (b+a)d=bd +ad ,利用上面結論知
(a+b)d= ad十bd=0
也就有 a+b=c'd'。
同樣:
b+a=1·(b+a)=(c+c' )(b+a)=c(b+a)+c'd'
又0=c(a+b)=ca+cb,推導出(a+b)c=ac+bc=0,得到b+a=c'd'。即
a+b=b+a
關於紐曼代數加法的結合性分三步進行。先證明結合性特例,在毎步中套用的方法是通過證明al=ar、a'l=a'r而建立等式l=r。因為
l=(a'+a)l=a'l+al=a'r+ar=(a'+a)r=r
(1) 1+(1+a)=(1+1)+a
令l=1+(1+a)、r=(1+1)+a,
al=a+a(1+a)=a+(a+a)=(a+a)+a=ar
又
a'l=a'+a'(1+a)=a'+a'=a'r
(2) 1+(a+b)=(1+a)+b
令l=1+(a+b)、r=(1+a)+b
al =a+a(a+b)=a+(a+ab)=a[1+(1+b)]
=a[(1+1)+b]= (a+a)+ab=ar
又
a'l=a'+a'(a+b)=a'+a'b=a'r
(3)令l=a+(b+c)、r=(a+b)+c,
al=a[a+(b+c)]=a+a(b+c)=a[1+(b+c)]
=a[(1+b)+c]= ar
又
a'l=a'(b+c)=a'[(a+b)+c]=a'r
而l=r,故
a+(b+c)=(a+b)+c.
