第一類型集

第一類型集(first category set)是拓撲空間的一類特殊的點集。若拓撲空間X的子集A可表為可數個無處稠密集的並，則稱A為X的第一類型集。若A不是第一類型集，則稱A為第二類型集。在實數空間中，有理數全體是第一類型集，無理數全體是第二類型集，它們都是實數空間中稠密的邊緣集。可數個第一類型集的並仍為第一類型集，有人亦稱第一(二)類型集為第一(二)範疇集。

基本介紹

• 中文名：第一類型集
• 外文名：first category set
• 屬性：拓撲空間的一類特殊的點集
• 別稱：第一範疇集，第一綱集
• 所屬學科：數學（一般拓撲學）

基本介紹

稀疏集 設X為一距離空間，A是X的子集。如果A在X的任何一個非空開集中均不稠密，則稱A為稀疏集。

定義中的非空開集可以換成非空開球，下面的定理給出稀疏集的一個特徵。

定理1 距離空間X的子集A為稀疏集的充分必要條件是對任一開球，存在另一個含於中的開球使

定義 設A為距離空間X的子集，如果A可以表示成至多可列個稀疏集的並，則稱A是第一類型集，又稱“第一綱集”，凡不是第一類型的集均稱為第二類型集，又稱“第二綱集”。

因此，距離空間X的子集或者是第一類型的集或者是第二類型的集，二者必居其一。

有限個或可數個第一類型集的和是第一類型的集。

例題分析

例1（1）n維Euclid空間中的任一有限子集是稀疏集，特別地，任一單元素集是稀疏集，因此中的任一可列集是第一類型的集。

（2）設，因為，故在中稠密，於是不是稀疏集。因此，包含在中的任一稀疏集必為空集。如果是可數個稀疏集的並，則必為空集，這樣就產生了矛盾。因此，為第二綱集。

第一類型的集與第二類型的集都是相對於一定的距離空間而言的，因而也都與事先給定的空間有著不可分割的聯繫。

相關定理

定理2設X是完備的距離空間，是X中的一列閉球，滿足

(稱為閉集套).

如果，則有唯一的點含於所有球中。

定理2的逆命題也成立。

定理3 如果距離空間X中的任一半徑趨於零的閉球套都有非空的交，則空間X是完備的。

下面的定理給出了完備距離空間的一個重要特性。

定理4(貝爾(Baire))完備的距離空間是第二類型的集。