第一型曲線積分

定義在平面曲線或空間曲線上的函式關於該曲線的積分。第一型曲線積分物理意義來源於對給定密度函式的空間曲線,計算該曲線的質量。

定義,物理意義,性質,第一型曲線積分的計算,套用,

定義

為平面上可求長度的曲線段,
為定義在
上的函式.對曲線
作分割
,它把分成
個可求長度的小曲線段
的弧長記為
,分割
的細度為
,在
上任取一點
, 若存在極限
且它的值與分割及點的取法無關,則稱此極限
上的第一型曲線積分,記為
或者簡寫成
為空間上可求長度的曲線段,
為定義在
上的函式.對曲線
作分割
,它把分成
個可求長度的小曲線段
的弧長記為
,分割
的細度為
,在
上任取一點
, 若存在極限
且它的值與分割及點的取法無關,則稱此極限
上的第一型曲線積分,記為
對於一般維空間中曲線,可同樣給出定義。

物理意義

是平面上某一可求長度的曲線,
是其密度函式,當計算物體的質量問題時便須要第一型曲線積分.首先對
作分割,把分成n個可求長度的小曲線段
(i=1,2,…,n),並在每一個上任取一點
,由於密度函式為連續函式,故當的弧長都很小時,每一小段的質量可近似地等於
,其中
為小曲線段的長度.於是在整個上的質量就近似地等於和式
當對
的分割越來越細密時,上述和式的極限就應是該物體的質量.

性質

第一型曲線積分具有下述一些重要性質:
1).若
存在,
為常數,則
也存在,且
2).若曲線段
由曲線
首尾相接而成,且
都存在,則
也存在,且
3).若
都存在,且在
, 則
4).若
存在,則
也存在,且

第一型曲線積分的計算

設有光滑曲線
,函式
為定義在
上的連續函式,則

套用

下面給出二個常用的套用。
1) 空間曲線
的重心坐標為
2)曲線
繞z軸(x, y軸)的轉動慣量是

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