積分幾何與凸幾何分析不等式

《積分幾何與凸幾何分析不等式》是依託西南大學，由周家足擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：積分幾何與凸幾何分析不等式
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：周家足
• 依託單位：西南大學

項目摘要

積分幾何與凸幾何分析及機率論密切相關。Crofton 研究幾何元素集的測度，Poincare-Blaschke用機率思想研究整體微分幾何問題。陳省身，Weil 將局部緊群上不變測度引入積分幾何，形成齊性空間積分幾何學。幾何元素（如空間中的點、線、面、子空間、變換群等）集上的幾何測度之間的關係表現為一些幾何等式和不等式，這些等式和不等式刻劃了最自然的事實及物理現象。過去幾十年來，李群論、代數幾何、泛函分析等領域的交叉對幾何不等式的發展起了巨大推動作用，積分幾何不等式已發展成整體微分幾何的重要分支。積分幾何與凸幾何分析不等式的套用遍及數學，物理很多分支,如分析、代數、採礦學（探針搜尋）、醫學（腫瘤切片），信息工程等。過去幾年我們已經重視和加強了這一領域的研究並取得了一些得到國際同行認可的成果。我們將繼續研究，同時繼續培養優秀年輕人，保持和鞏固自己的研究特色，爭取作出有影響的世界水平的工作。

結題摘要

積分幾何與凸幾何分析及機率論密切相關，在過去幾十年中，積分幾何不等式已發展成整體微分幾何的重要分支。積分幾何與凸幾何分析不等式的套用遍及數學，物理很多分支,如分析、代數、採礦學（探針搜尋）、醫學（腫瘤切片），信息工程等。過去十多年來我們已經重視和加強了這一領域的研究並取得了一些得到國際同行認可的成果，同時培養了一批優秀的年輕學者，我們將保持和鞏固自己的研究特色，爭取作出有影響的世界水平的工作。 古典的等周問題是確定固定周長的最大面積平面圖形，這一問題起源於古希臘。但第一個嚴格的數學證明直到19世紀才由Weierstrass給出，他的工作是在Bernoulli, Euler和Lagrange的基礎上完成的並且假設了圖形邊界具有光滑性. Hurwitz後來發表的一篇簡短證明中用到了Fourier 級數並去掉了光滑性條件。Schmidt（1938）把區域與圓盤比較給出了一個非常優美的證明，Schmidt的證明中用到了Green定理和Caushy - Schwarz不等式 表示的的弧長和面積公式。自那以後就有了許多證明而且很多非常簡明。等周問題已經被推廣到曲面上以及（難度高的）高維空間區域。另一個非常重要的問題是Minkowski problem，即給點單位球面S^{n-1}上的一個連續函式g, “”存在一個光滑閉曲面M使單位外法向量u處的Gauss曲率為g的充分必要條件”是什麼？ 我們在這些問題上作了教深入研究並取得一些進展。