《積分幾何不等式與常寬凸體》是依託西南大學，由徐文學擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：積分幾何不等式與常寬凸體
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：徐文學
- 依託單位：西南大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
積分幾何起源於幾何機率，建立在隨機幾何、凸體論、李群的基礎上，研究流形與凸體的整體性質，是整體微分幾何的重要組成部分。其深入套用到物理、採礦學（探針收索）、醫學、資訊理論、機械設計等領域。積分幾何是中國傳統的數學分支之一，陳省身、蘇步青、嚴志達、吳大任與任德麟等為其發展作出很多貢獻。陳省身基本運動公式現仍為積分幾何中最優美的積分公式。. 運動公式、幾何不等式與常寬凸體等是積分幾何研究的重要內容。本課題首先研究Lp空間中的陳省身基本運動公式及其對偶運動公式，這是積分幾何發展方向之一；其次利用一種獲得幾何不等式的行之有效的新方法，即估計一域包含另一域的包含測度，研究常曲率平面與高維歐氏空間中的Bonnesen型不等式與逆Bonnesen型不等式；針對常寬凸體理論中仍未解決的“Bonnesen-Fenchel猜想”，我們將首先構造一類空間中的常寬凸體，再結合分析的方法推動該問題的解決。
結題摘要
積分幾何與凸幾何分析是中國傳統的數學分支之一。德國數學家 Blaschke 及其學派於 1935 年至 1939 年間在德國漢堡大學成立了積分幾何與幾何機率討論班，他們利用機率的思想建立了關於凸體論與整體幾何方面的諸多重要結論，這些成果均以“Integral Geometry (積分幾何)”為總標題發表。此後，積分幾何作為一門獨立的數學分支為世人所公認。在此期間，作為討論班的重要成員，中國數學家陳省身先生與吳大任先生對積分幾何的發展與完善做出了突出的貢獻。到目前為止，陳省身基本運動公式現仍為積分幾何中最基礎最重要的積分公式。1940年前後，陳省身與Weil 將局部緊群上不變測度引入積分幾何便形成了研究範圍更加廣泛內容更加豐富的齊性空間積分幾何。吳大任在弦冪積分方面做出了突出的貢獻。隨後，任德麟教授在包含問題及其套用方面得到了很多重要的成果，其培養的周家足教授與張高勇教授都在積分幾何與凸幾何分析方面做出很多貢獻。 本項目主要研究積分幾何與凸幾何分析中的運動公式，幾何不等式與常寬凸體。在運動公式方面，我們定義了兩類更加廣泛的積分幾何不變數，得到了該類不變數是valuations 的充分必要條件，並且得到了兩類廣泛的積分幾何不等式，其等號成立時是一類新的不變運動公式（分別是經典的Crofton 公式與基本運動公式的複合），且這時的不變數為以valuations, 對其刻畫是一類著名的Hadwiger刻畫定理，此外，我們定義全平均曲率矩陣決定的唯一的橢球稱為全平均曲率橢球，此為經典全平均曲率概念的一種非常有意義的推廣，並得到了一個關於全平均曲率的運動公式。在幾何不等式方面，我們利用積分幾何中常曲率平面中Poincare 基本運動公式與Blaschke 基本運動公式估計一域包含另一域的包含測度，得到了一些新的常曲率平面中的Bonnesen型不等式及其反向不等式，其中一些不等式加強了著名的Klain不等式與Bottema不等式。另外，還得到了關於Lp混合極小表面積的Alexandrov-Fenchel不等式，Blaschke-Santalo不等式與仿射等周不等式與二維情形時的Orlicz差分體不等式等。在常寬凸體方面，我們由平面上偶數多邊形構造平面上新的常寬凸體及空間中非對稱的常寬凸體，並以此進一步研究空間中的“Bonnesen-Fenchel猜想”。
