直線公理

直線公理的內容是：(1)經過兩點只有一條直線。或者，兩點確定一條直線；(2)兩條直線相交，只有一個交點。

基本介紹

• 中文名：直線公理
• 外文名：linear axiom
• 所屬學科：數學（初等幾何）
• 簡要介紹：兩點確定一條直線
• 相關知識：直線，直線相交等

基本內容

直線的基本性質(公理)： (1)經過兩點有一條直線，並且只有一條直線。(2)兩條直線相交，只有一個交點。因為直線是不定義的名詞，對直線概念的理解往往靠上述的基本性質。

套用舉例

【例1】已知點 ，求 的面積。

圖1

解： 如圖1，設 邊上的高為 ，則

邊上的高為 就是點 到 的距離。

邊所在直線的方程為

即 。

點 到 的距離

因此， 。

實際上，在以上解法中求直線 的方程可以不用兩點式，可以運用直線公理“兩點確定一條直線”通過觀察簡潔求解：

由點 及 ，得點 均在直線

上，由“兩點確定一條直線”知，直線AB就是直線 ，即直線AB的方程是 。

【例2】 已知兩條相交直線 的交點是(5，3)，求過兩點 的直線的方程。

解：可得 所以 (否則 ，兩條直線 重合)，把兩個等式相減，得

所以所求直線的斜率為

所求直線的方程為

簡解: 由“兩條相交直線 ”知．點“ ”是不同的兩點，還可得 。

由 知，點, 在直線 上；由 知，點 也在直線 上，所以由“兩點確定一條直線”知，直線 就是直線 ，即直線 的方程是 。

直線的相關公理

關於直線的基本性質，是用下面一組公理描述的。

阿基米德公理

對於任意線段 ，如圖2，存在一個自然數 ，使得

圖2

阿基米德公理是說，無論線段OP如何小，點M離點O無論多遠，用線段OP在直線上連續截取足夠的次數，將得到終點Q，點Q在點M的右邊，即 。

稠密性公理

對於直線上任意兩個不同的點 ，在直線上至少存在一點 介於點A和點B之間，如圖3。

圖3

由公理很容易得到下面的推論。

推論 在直線上的點A與點B之間，存在著無限多個點。

連續性公理

對於直線上的線段 的無窮序列，如果滿足：

(1) ；

(2) 對於給定的任一小的線段 ，總存在一個數 使得 ，如圖4，

那么存在唯一的點 ，使得 (對一切 )，這個公理也叫做退縮線段原理，圖5是它的幾何解釋。

圖4

圖5