基本介紹
- 中文名:直線公理
- 外文名:linear axiom
- 所屬學科:數學(初等幾何)
- 簡要介紹:兩點確定一條直線
- 相關知識:直線,直線相交等
基本內容,套用舉例,直線的相關公理,阿基米德公理,稠密性公理,連續性公理,
基本內容
直線的基本性質(公理): (1)經過兩點有一條直線,並且只有一條直線。(2)兩條直線相交,只有一個交點。因為直線是不定義的名詞,對直線概念的理解往往靠上述的基本性質。
套用舉例
【例1】已知點
,求
的面積。
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解: 如圖1,設
邊上的高為
,則
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點
到
的距離
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實際上,在以上解法中求直線
的方程可以不用兩點式,可以運用直線公理“兩點確定一條直線”通過觀察簡潔求解:
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由點
及
,得點
均在直線
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【例2】 已知兩條相交直線
的交點是(5,3),求過兩點
的直線的方程。
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解:可得
所以
(否則
,兩條直線
重合),把兩個等式相減,得
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由
知,點,
在直線
上;由
知,點
也在直線
上,所以由“兩點確定一條直線”知,直線
就是直線
,即直線
的方程是
。
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直線的相關公理
關於直線的基本性質,是用下面一組公理描述的。
阿基米德公理
對於任意線段
,如圖2,存在一個自然數
,使得
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阿基米德公理是說,無論線段OP如何小,點M離點O無論多遠,用線段OP在直線上連續截取足夠的次數,將得到終點Q,點Q在點M的右邊,即
。
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稠密性公理
對於直線上任意兩個不同的點
,在直線上至少存在一點
介於點A和點B之間,如圖3。
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由公理很容易得到下面的推論。
推論 在直線上的點A與點B之間,存在著無限多個點。
連續性公理
對於直線上的線段
的無窮序列,如果滿足:
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(1)
;

(2) 對於給定的任一小的線段
,總存在一個數
使得
,如圖4,
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那么存在唯一的點
,使得
(對一切
),這個公理也叫做退縮線段原理,圖5是它的幾何解釋。
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