直圓錐

如果一個錐體的底面為圓形，頂點位於過底面中心的底面的垂線上，則這個錐體稱為直圓錐(right circular cone)。直角三角形以其一直角邊為軸旋轉而成的旋轉體是直圓錐。也可以說在初等幾何中，一個錐體若底面為圓，而圓心恰為其頂點在底面上的射影，則稱其為直圓錐。通常說圓錐多是指直圓錐。

基本介紹

• 中文名：直圓錐
• 外文名：right circular cone
• 所屬學科：數學（幾何學）
• 相關概念：母線，扇形等

組成部分

以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，其餘兩邊繞軸旋轉360°所得到的幾何體，叫做直圓錐，簡稱圓錐，如圖1。

直角三角形旋轉時，有一條直角邊位於旋轉軸上，另一條直角邊旋轉產生的圓面叫做圓錐的底面。斜邊旋轉時的每一個位置，叫做直圓錐的母線，旋轉時產生的曲面叫做直圓錐的側面。斜邊位於軸上的端點叫做直圓錐的頂點。直圓錐的頂點和底面的距離(即頂點和底面圓圓心的距離)叫做直圓錐的高。

直圓錐的底面是圓。

直圓錐的側面沿母線剪開後在平面上展開，是一個扇形。它的半徑等於直角三角形的斜邊長，它的弧長等於直圓錐的底面圓的周長。圖2就是直圓錐的側面展開圖。

圖1

圖2

性質

直圓錐的主要性質：

(1) 直圓錐的底面是個圓。它所在的平面垂直於圓的軸。

(2) 直圓錐的軸經過頂點和底面的圓心，底面圓心和頂點的連線是圓錐的高。

(3) 直圓錐的一切母線都交圓錐的頂點，並且都相等，各條母線與軸的夾角都相等。

(4) 用一個過直圓錐的頂點，並且和底面相交的平面去截直圓錐，所得的截面是一個等腰三角形。

(5) 垂直於軸的直圓錐截面是個圓。

體積與側面積

直圓錐體的體積等於它的底面積與高的積的三分之一。

若設圓錐體的體積為V，底面積為S，高為h，那么，圓錐體的體積公式為或。

直圓錐體的側面積等於它的底面的周長與母線長乘積的一半。

若圓錐的母線為，底面半徑為，側面積為S，那么，圓錐體的側面積公式為。

方程式

由方程

給出的曲面，叫做二次曲面。

這個方程給出的可以不是曲面，而是具有更小維度的圖形：直線，點或者甚至是空集合。這樣的圖形我們不列入二次曲面。

二次曲面稱為圓錐，如果在某個直角坐標系中它用方程給出，其中。在這種情況，圓錐稱為旋轉圓錐或者直圓錐。點稱為圓錐的頂點，而軸叫做圓錐的軸。

相關結論

【例1】證明：頂點在坐標原點的直圓錐的方程形式為

證明提示：設圓錐軸的方向用向量給出，向量和之間的角的餘弦等於

點的集合，對於它這個餘弦精確到符號相同，給出方程的形式為

【例2】證明：如果圓錐

是直圓錐，並且數中一個等於零，那么這些數中還有一個等於零。

證明提示：根據上一問題數具有形式。如果這些數中有一個等於零，那么由數中一個等於零，則由數中還有一個等於零。

【例3】證明：圓錐

其中，是直圓錐，若且唯若。

證明提示： 首先假設，圓錐是直圓錐，根據問題①有和，所以。

現在假設設，根據條件，所以和要么兩個都正，要么兩個都負，在必要時改變圓錐方程的所有係數的符號，可以認為，數和是正的，假設，根據條件，符號可以選擇，使得成立等式，這時圓錐的方程化歸為正如在問題①指出的這樣的形式。

【例4】直圓錐用不平行於它的軸的平面的截形，射影在垂直於圓錐的軸的平面上，證明：圓錐的軸相交射影於焦點。

證明提示：可以認為，圓錐的頂點位置在坐標原點，而它的軸沿著軸的方向，則圓錐的方程具有形式。坐標平面旋轉後可以認為，截割平面的方程具有形式，這樣一來，圓錐截形在坐標平面上的射影由方程給出，這個方程可以改寫為

最後一個方程給出焦點在坐標原點，準線為和離心率為(由點到焦點的距離對點到準線距離的比等於離心率)的二次曲線。