皮卡例外值是整函式理論的一個概念，對任一超越整函式至多有一個有窮的皮卡例外值，對超越亞純函式至多有兩個皮卡例外值。
基本介紹
- 中文名：皮卡例外值
- 外文名：exceptional value of Picard
- 適用範圍：數理科學
定義,皮卡小定理,皮卡大定理,
定義
皮卡例外值是整函式理論的一個概念，使
僅有有限多個零點的值 a 稱為皮卡例外值。
皮卡小定理
皮卡定理可以指兩個不同的數學定理，它們都是關於解析函式的值域。
皮卡小定理說明，如果函式f(z)是整函式且不是常數，則f(z)的值域或者是整個複平面，或者只去掉一個點。
這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理：任何不是常數的整函式都一定是無界的。
皮卡大定理
皮卡大定理說明，如果f(z)在點w具有本性奇點，那么在任何含有w的開集中，對任意非∞的複數值A，有無窮多個z使得f(z)=A，A最多只有一個例外。 以上定理是說，全純函式在本性奇點的任意鄰域內，“無窮多次”地取到每一個有限的復值，至多有一個例外值。 這個定理強化了魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理，它只保證了f的值域在複平面內是稠密的。
這個“唯一的例外”實際上在兩個定理中都是需要的：指數函式ez是一個整函式，永遠不能是零。e1/z在0處具有本性奇點，但仍然不能取得零。
皮卡大定理在一個更一般的形式中也是正確的，可以套用於亞純函式：如果M是一個黎曼曲面，w 是M上的一個點，P1C = C∪{∞}表示黎曼球面，f : M \ {w} → P1C是一個全純函式，在w處具有本性奇點，那么在M的任何含有w的開子集中，函式f都可以取得除了兩個點以外的所有P1C的點。
例如，亞純函式f(z) = 1/(1 − exp(1/z))在z = 0處具有本性奇點，在0的任何鄰域內都無窮多次取得值∞；但它無法取得0或1的值。
皮卡小定理可以從皮卡大定理推出，因為整函式要么是多項式，要么在無窮遠處具有本性奇點。
