皮亞諾公理，也稱皮亞諾公設，是數學家皮亞諾(皮阿羅)提出的關於自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統，也稱皮亞諾算術系統。
基本介紹
- 中文名：皮亞諾算術
- 也稱：皮亞諾公設
- 數學家：皮亞諾
- 公理系統：五條
公式,方法敘述,
公式
皮亞諾算術(PA)的公理:
x（Sx≠0）。 x，y（（Sx=Sy→x=y）。 ，對於在 PA 的語言中的任何公式 。 x（x+0=x）。 x，y（（x+Sy=s（x+y））。 x（x·0=0）。x，y（x·Sy=xy+x）。
方法敘述
皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：
Ⅰ 1是自然數；
Ⅱ 每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a' ，a' 也是自然數（數a的後繼數a' 就是緊接在這個數後面的數（a+1），例如，1’=2，2‘=3等等）；
Ⅲ 如果b、c都是自然數a的後繼數，那么b = c；
Ⅳ 1不是任何自然數的後繼數；
Ⅴ 任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n' 也真，那么，命題對所有自然數都真。(這條公理也叫歸納公設，保證了數學歸納法的正確性)
若將0也視作自然數，則公理中的1要換成0。
更正式的定義如下：
一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(X, x,f)：
Ⅰ X是一集合，x 為X中一元素，f是 X 到自身的映射；
Ⅱ x 不在f的值域內；
Ⅲ f 為一單射；
Ⅳ 若A 為X的子集並滿足: x屬於 A, 且若a 屬於A, 則 f(a) 亦屬於A，則A =X.
該公理與由皮阿羅公理引出的關於自然數集合的基本假設:
1° P(自然數集)不是空集；
2° P到P記憶體在a→a直接後繼元素的一一映射；
3° 後繼元素映射像的集合是P的真子集；
4° 若P任意子集既含有非後繼元素的元素,又有含有子集中每個元素的後繼元素,則此子集與P重合.
這四個假設能用來論證許多平時常見又不知其來源的定理!
例如:其中第四個假設即為套用極其廣泛的歸納法第一原理(數學歸納法)的理論依據.
