基本介紹
- 中文名：佩亞諾公理
- 外文名：Peano axioms
- 別稱：皮亞諾公理
- 領域：數學
內容,分歧,參見,
內容
皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：
- 1是自然數；
- 每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a'，a'也是自然數（一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數，例如，1的後繼數是2，2的後繼數是3等等）；
- 對於每個自然數b、c，b=c若且唯若b的後繼數=c的後繼數；
- 1不是任何自然數的後繼數；
- 任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n'也真，那么，命題對所有自然數都真。（這條公理保證了數學歸納法的正確性）
若將0也視作自然數，則公理中的1要換成0。
更正式的定義如下：
一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組（X,x,f）：
- X是一集合，x為X中一元素，f是X到自身的映射。
- x不在f的值域內。（對應上面的公理4）
- f為一單射。（對應上面的公理3）
- 若A為X的子集並滿足：
- x屬於A,且
- 若a屬於A,則f（a） 亦屬於A
- 則A=X。
正式定義可以用謂詞邏輯表示如下:
戴德金-皮亞諾結構可以描述為滿足所有以下條件的三元組 (S, f, e)
- (e ∈ S)
- (∀ a ∈ S)( f(a) ∈ S )
- (∀ b ∈ S)(∀ c ∈ S)(f(b) = f(c) → b = c)
- (∀ a ∈ S)( f(a) ≠ e )
- (∀ A ⊆ S)( ((e ∈ A) ∧ (∀ a ∈ A)(f(a) ∈ A)) → (A = S) )
分歧
關於皮亞諾公理的內容有不同版本。其中若將零視為自然數，第一個公理分別被闡述為：
- 1是一個自然數。
- 0是一個數字。
- 0是一個自然數。
- 存在一個自然數0。和“0是一個自然數”等價。
