瑞利一里茨法

瑞利一里茨法(Rayleigh-Ritz method)求泛函極小問題的極小化序列的一種直接方法。英國的瑞利於1877年在《聲學理論》一書中首先採用,後由瑞士的W.里茲於1908年作為一個有效方法提出。這一方法在許多力學、物理學、量子化學問題中得到套用。同時它也是廣泛套用於套用數學和機械工程領域的經典數值方法,它可以用來計算結構的低階自然頻率。它是直接變分法的一種,以最小勢能原理為理論基礎。通過選擇一個試函式來逼近問題的精確解,將試函式代入某個科學問題的泛函中,然後對泛函求駐值,以確定試函式中的待定參數,從而獲得問題的近似解。

基本介紹

  • 中文名:瑞利一里茨法
  • 外文名:Rayleigh-Ritz method
  • 別名:里茲法
  • 領域:數理科學
  • 提出者:里茲
  • 套用:求泛函極小問題的極小化序列
簡介,方法說明,原理,套用,

簡介

瑞利一里茨法是通過泛函駐值條件求未知函式的一種近似方法。英國的瑞利於1877年在《聲學理論》一書中首先採用,後由瑞士的W.里茲於1908年作為一個有效方法提出。這一方法在許多力學、物理學、量子化學問題中得到套用。同時它也是廣泛套用於套用數學和機械工程領域的經典數值方法,它可以用來計算結構的低階自然頻率。它是直接變分法的一種,以最小勢能原理為理論基礎。通過選擇一個試函式來逼近問題的精確解,將試函式代入某個科學問題的泛函中,然後對泛函求駐值,以確定試函式中的待定參數,從而獲得問題的近似解。

方法說明

瑞利一里茨法允許計算瑞茨對(λi,xi),其近似特徵值問題的解
Ax=λx
其中
過程如下:
1.在
中計算一個正交基數 V,逼近與m個特徵向量對應的本徵空間
2.計算R<—-V*AV
3.計算R求解的特徵值
4.形成瑞茨對
人們總是可以通過
計算得到正確解。
如果使用Krylov子空間,而A是一般矩陣,那么這就是Arnoldi算法。
設l ( u)是定義在某個空間H上的泛函,考慮泛函極小問題:J(u)=min。假定
函式序列ul,uz,…稱為泛函極小問題的極小化序列。里茨法如下設w1,wz ,…構成空間H的一組完備基,因此極小化序列中每個u。均可表示為
瑞利一里茨法
瑞利一里茨法
現舉一簡單例子來說明里茨法以及它與當代有限元法的關係.仍考慮有限元法中的問題(1)(參見“有限元法”,可以證明它與下述問題等價,即求uEI; (,fl ),使得
瑞利一里茨法
即為。的近似解。因此問題歸結為如何確定H:(,(Z)中的完備基.當區域口是典型區域(如正方形),則可選取代數或三角多項式之類的解析函式,作為空間H; (,fl)的完備基,這就是經典的里茨法.但當區域月為一般區域時,要尋找解析函式作為基函式,就極其困難,或根本不可能.此時有限元法卻可行.首先構造空間Ho (,(l)的有限元子空間Vh,則}1 } }2 }…,吼(對線性有限元空間,即為屋頂函式,參見“有限元法”),組成V、的一組基函式,n=diamVh.這樣以}P}代替w,即為有限元法.
瑞利一里茨法是由瑞士物理學家、數學家裡茨(Ritz, W.)於1911年提出來的,在此之前,瑞利( Rayleigh , L,.)曾成功地運用過類似的概念,故稱瑞利一里茨法.

原理

此法假定待求函式f(x)為n個已知函式 Wi(x)的線性組合:
瑞利一里茨法
式中αi為未知常係數。通過由f(x)組成的泛函式[f(x)]取駐值的條件(駐值條件對應於已知的物理定律或定理)得到n個方程,
瑞利一里茨法
由此解出n個未知常係數αi,從而得到f(x)。這一理論還可推廣到多維問題。
在求解彈性體位移時,先假定彈性體內沿x、y、z方向的位移uvw分別由一系列已知的滿足彈性體全部位移邊界條件的連續函式ui(xyz)、vi(xyz)、wi(xyz)(i=1,2,…,n)疊加而成,即
瑞利一里茨法
式中Ai、Bi、Ci為待求係數,共3n個。將u、v、w代入作為泛函的總勢能Π的表達式,根據彈性學最小勢能原理,總勢能變分為零,即有駐值條件:
瑞利一里茨法
這是關於3n個待求係數Ai、Bi、Ci的3n個代數方程。解出3n個未知係數便得到全部位移。通過對位移進行微商並利用應力-應變關係就得到應力。由於瑞利-里茲法假設的位移函式u、v、w可以不滿足力的邊界條件,所以位移函式的構成比較容易,計算也比較方便,但有時求出的應力誤差較大。
在振動問題中,如果將物體的可能位移表達為若干給定的位移的線性組合,而以瑞利商(見瑞利原理)作為位移的泛函,則利用瑞利商取駐值時條件,就可求出物體振動的固有頻率的近似值。

套用

在機械工程領域,它被用於計算多自由度系統(如彈簧-質量系統、變截面軸上的飛輪)大致的共振頻率;還可以計算圓柱體的折斷載荷。瑞利-里茲法是瑞利法的擴展。
以下的討論舉一個最簡單的例子(2個集中彈簧和2個集中質量,並只考慮2個模態振型)。因此M= [m1,m2] 且K= [k1,k2]。
為該系統假設一個由兩項組成的模態振型,其中一個用因數B加權。例如Y= [1, 1] +B[1, –1]。
簡諧運動理論認為撓度等於0時的速率為角頻率ω乘以最大撓度(y)。本例中,每個質量的動能
等等,而每個彈簧的勢能(PE)等於1/2k1Y1^2等等。對於連續系統,該表達式要麻煩得多。因為引入了無阻尼假設,因此整個系統當y=0時的KE等於v=0時的PE。由於不存在阻尼,系統各點同時達到v=0的狀態。
因此,由KE = PE得:
瑞利一里茨法
注意模態振型的實際振幅總會從兩邊消去。也就是說,假設撓度的真正數值並不重要。我們在意的是振型。
由於ω與B有關,為了找到最小的ω,我們令dω / dB = 0。此時的B的取值可以使得ω最小。由於振型是假設的,通過該方法得到的ω是需要預測的基頻的上界。我們需要得到的是這個上界的最小值。
該方法有很多技巧,最重要的是試圖找到儘量真實的假設振型。例如在梁的撓曲問題中,使用一個儘量接近真實解得變形模態是明智的。對於大部分簡單的梁連線問題,即使振型的階次很低,一個四次的函式就足夠了。彈簧和質量並不必離散,它們可以使連續的或者是雜糅的。只要能夠描述分散式的KE和PE,或把連續的單元離散,該方法可以很容易編程來找到複雜分散式系統的自然頻率。
該方法可以反覆疊代使用,把附加的模態振型疊加到先前的最佳解上。也可以建立一個用許多參數B和振型組合的長表達式,最後對它們求偏導。
在振動問題中,如果將物體的可能位移表達為若干給定的位移的線性組合,而以瑞利商(見瑞利原理)作為位移的泛函,則利用瑞利商取駐值的條件,就可求出物體振動的固有頻率的近似值。

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