極小化序列

極小化序列(minimizing sequences)是指使泛函值的極限為泛函極小值的函式序列。設E是實Banach空間， D⊂E， f是定義在D上的實泛函。若存在{x_n} ⊂D，使得：f(x_n)→inf_x∈Df(x)，則稱 {x_n} 為泛函 f 的極小化序列。

基本介紹

• 中文名：極小化序列
• 外文名：minimizing sequences
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：偏微分方程
• 相關概念：希爾伯特空間、泛函等
• 類型：數學術語

定義

變分學和最最佳化的中心問題是求定義在Banach空間某一子集D上的泛函的最小值點。下面介紹最小值點的逼近——極小化序列。

定義1 設E是實Banach空間， ， 是定義在D上的實泛函。若存在 ，使得

則稱 為泛函 的極小化序列。

相關概念與命題

命題1設 是一凸集， 是嚴格凸泛函，則至多存在一點，使

證明： 若在D中存在 ，使得

則 ，有

此與是最小值點矛盾。證畢。

定理1 設E是實自反Banach空間，實泛函是G-可微、強制和嚴格凸的，則的任一極小化序列弱收斂於的唯一最小值點，此時最小值點當然也是臨界點。

證明：首先由假設知，在整個空間E中有唯一的最小值點，且為的臨界點。

再證每一個極小化序列都是有界的：若不然，設無界，於是存在子列。由的強制性，存在及使得當時，恆有因此有

此矛盾證明了的有界性。

然後，由有界，結合E自反知，存在及，使得再考慮到是的最小值點及的弱下半連續性得

所以由嚴格凸泛函最小值點的唯一性得，於是

最後證若不然，不妨設有子列則有

此與是的唯一最小值點矛盾。證畢。