狄利克雷函式

狄利克雷函式（英語：dirichlet function）是一個定義在實數範圍上、值域不連續的函式。狄利克雷函式的圖像以Y軸為對稱軸，是一個偶函式，它處處不連續，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個處處不連續的可測函式。

基本介紹

• 中文名：狄利克雷函式
• 外文名：Dirichlet function
• 分類類型：高等數學
• 相關：黎曼函式
• 屬於：偶函式
• 特點：處處不連續

簡介

狄利克雷函式是一個定義在實數範圍上、值域不連續的函式。狄利克雷函式的圖像以Y軸為對稱軸，是一個偶函式，它處處不連續，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個處處不連續的可測函式。

公式定義

實數域上的狄利克雷（Dirichlet）函式表示為：

（k，j為整數）也可以簡單地表示分段函式的形式D(x)= 0（x是無理數）或1（x是有理數）

性質分析

基本性質

1、定義域為整個實數域R

2、值域為{0,1}

3、函式為偶函式

4、無法畫出函式圖像，但是它的函式圖像客觀存在

5、以任意正有理數為其周期，無最小正周期（由實數的連續統理論可知其無最小正周期）

分析性質

1、處處不連續

2、處處不可導

3、在任何區間內黎曼不可積

4、函式是可測函式

5、在單位區間[0,1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0（且任意區間<a,b>以及R上甚至任何R的可測子集上（區間不論開閉和是否有限）上的勒貝格積分值為0 ）

對性質5的說明：雖然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可積條件（說明中Q為有理數集）。

函式周期

狄利克雷函式是周期函式，但是卻沒有最小正周期，它的周期是任意負有理數和正有理數。因為不存在最小負有理數和正有理數，所以狄利克雷函式不存在最小正周期。

創始人介紹

狄里克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805～1859），德國數學家。對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創始人之一。1805年2月13日生於迪倫，1859年5月5日卒於哥廷根。中學時曾受教於物理學家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學，深受J.B.J.傅立葉的影響 。回國後先後在布雷斯勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教27年，對德國數學發展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。

在分析學方面，他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函式是x與y之間的一種對應關係的現代觀點。

在數論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1833年狄里克雷撰寫了《數論講義》，對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋並有創見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構造了狄里克雷級數。1838～1839年，他得到確定二次型類數的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾群的結構。

在數學物理方面，他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論著。1850年發表了有關位勢理論的文章，論及著名的第一邊界值問題，現稱狄里克雷問題。

狄利克雷函式的出現．表示數學家“J對數學的理解發生了深刻的變化。數學的一些“人造”特徵開始展現出來這種思想也標誌著數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”狄利克雷是數學史上第一位重視概念的人。並且是有意識地“以概念代替直覺”的人。在狄利克雷之前，數學家們主要研究具體函式進行具體計算，他們不大考慮抽象問題。但狄利克雷之後，事情逐漸變化了。人們開始考慮函式的各種性質，例如(函式的)對稱性、增減性、連續性等。