狄利克雷核

約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，勒熱納·狄利克雷是姓，1805年2月13日－1859年5月5日），德國數學家。他是解析數論的奠基者，也是現代函式概念的定義者。

狄利克雷核(Dirichlet kernel)一類由三角函式表示的積分核。

基本介紹

• 中文名：狄利克雷核
• 外文名：Dirichlet kernel
• 領域：數學
• 發明人：狄利克雷
• 性質：三角函式表示的積分核
• 表示符號：Dk(x)

狄利克雷簡介

狄利克雷（1805～1859）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德國數學家。對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創始人之一。1805年2月13日生於迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學時曾受教於物理學家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學，深受J.-B.-J.傅立葉的影響 。回國後先後在布雷斯勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教27年，對德國數學發展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。

在分析學方面，他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函式是x與y之間的一種對應關係的現代觀點。

在數論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1836年狄利克雷撰寫了《數論講義》，對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋並有創見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構造了狄利克雷級數。1838～1839年，他得到確定二次型 類數的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾群的結構。

在數學物理方面，他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論著。1850年發表了有關位勢理論的文章，論及著名的第一邊界值問題，現稱狄利克雷問題。

狄利克雷是19世紀最重要的數學家之一。他的貢獻涉及到數學的各個方面，其中以數論、分析，特別是關於位勢論最著名.在數論方面，他先後證明了n=5和n=14時的費馬大定理.1837年，他證明了任何算術序列a，a+b，a+2b，…(a與b互素)中，必有無窮多個素數，這就是著名的狄利克雷定理，證明中所用到的級數，稱為狄利克雷級數.他還提出了狄利克雷抽樣法，成為解析數論的創始人。在數學分析方面，他在1837年的論文中引入了近代函式的概念，一直沿用至今。他還第一個準確解釋了級數條件收斂的概念，討論了傅立葉級數的收斂性問題。他的工作發展了傅立葉級數理論。在位勢論理論中，他引入了所謂的狄利克雷原理。他還提出了微分方程的邊值問題。他的研究工作在數學物理的許多領域中起了重要作用。

狄利克雷核表述

狄利克雷核(Dirichlet kernel)是一類由三角函式表示的積分核。三角多項式：

稱為狄利克雷核。多變元的情形有類似的定義。為簡明起見，本條及以下各條若不特別說明，均只對單變元情形進行敘述。把f的傅立葉級數的前n+1項的和記為，稱為的第n部分和，簡稱f的傅立葉部分和。容易算出：

於是，f能否展成傅立葉級數，就歸結為當時的收斂性問題。

傅立葉級數

法國數學家傅立葉發現，任何周期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示（選擇正弦函式與餘弦函式作為基函式是因為它們是正交的），後世稱傅立葉級數為一種特殊的三角級數，根據歐拉公式，三角函式又能化成指數形式，也稱傅立葉級數為一種指數級數。

法國數學家J.-B.-J.傅立葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發展。在中國，程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅立葉級數。他首先證明多元三角級數球形和的唯一性定理，並揭示了多元傅立葉級數的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅立葉級數曾極大地推動了偏微分方程理論的發展。在數學物理以及工程中都具有重要的套用。