照明問題

照明問題是一個數學類問題。

基本介紹

  • 中文名:照明問題
  • 外文名:illumination problem
照明問題(illumination problem)確定照亮一 個凸體的整個邊界所需要的最少的不同方向的平行 光束數的問題.設K是n維線性空間R"中的一個 凸體,並假定K的邊界非空.邊界上的任一點A被 稱為沿著給定的方向Z從外部照亮是指在凸體內有 一點B,使得向量二話和l平行且同向.設空間R"中 將整個邊界照亮的最少的方向數為。(K).
照明間題的解決與組合幾何中的哈德威哥問題 有關.1957年,哈德威哥(Hadwiger, H.)提出用一 種特殊形式的圖形覆蓋凸體的問題.設K是n維歐 幾里得空間R"中的凸體,並設b(K)是以k (OGk Gl>為相似係數,與K位似的且足以覆蓋K的立 體的最少個數.1978年,有人證明:對於R"中有界 凸體來說,c(K) -b(K);對於無界凸體有。(K)鎮 b(K),且存在凸體滿足。(K) Gb(K),或者。(K)= b(K)=. 關於b(K),哈德威哥猜測:任何有界的集合K cR”滿足n+1毛b<K)毛2",這裡等式(b<K)=Z" 表明K是平行多面體.在n鎮2時,猜測已得到證 明;對於n妻3僅有部分結果.例如,1984年,拉塞克 (Lassak,M.)證明:對於有界的中心對稱的立體K c R3,猜測成立.對於無界集KcR'',數b(K)或者 等於co或者等於b(K' ),這裡K,是維數較低的有界 凸體.特別地,對KcR3,數b(K)只能取1,2,3,4, co這些值之一.

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