《無窮維Hamilton系統不變環面的有效穩定性》是依託大連理工大學,由叢洪滋擔任醒目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：無窮維Hamilton系統不變環面的有效穩定性
- 依託單位：大連理工大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：叢洪滋
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
根據經典的KAM 理論, 可積Hamilton系統的不變環面在Hamilton 擾動下大多數能保存下來, 少數環面破裂, 在破裂處可能存在Arnold 擴散, 但該擴散的速度十分緩慢。 Nekhoroshev估計正好清楚地刻畫了這種擴散的速度：對有限維Hamilton系統, 若系統滿足steepness性質，則所有的解的作用量在一個指數長的時間內變化很小。 因此, 系統是長時間穩定的, 這種穩定被稱為有效穩定。一個重要的問題是: 這種有效穩定性在由非線性發展方程定義的無窮維Hamilton 系統中是否仍然存在? 我們希望建立各種條件下（Hamilton向量場分別是有界運算元和無界運算元）無窮維Hamilton系統不變環面附近的Birkhoff標準型定理，並由此證明: 無窮維Hamilton系統的不變環面是有效穩定的。
結題摘要
本項目研究的目標是由非線性偏微分方程生成的無窮維哈密頓系統KAM環面的有效穩定性，即從KAM環面附近出發的解是否在很長時間內仍然待在KAM環面附近。首先，我們定義了tame性質，並證明該性質在KAM疊代和標準型疊代下保持不變。其次，在一定非共振條件下，我們建立了KAM環面附近的高階標準型。最後，利用tame性質和高階標準型，我們證明了無窮維哈密頓系統KAM環面的長時間穩定性，並且我們將該結論套用到1維薛丁格方程和1維波動方程上。 近三年，共完成學術論文3篇，其中1篇已發表，2篇被接收。 1. Hongzi Cong, Jianjun Liu and Xiaoping Yuan, Stability of KAM tori for nonlinear Schrodinger equation, to appear Memoris of the American Mathmetical Society（http://www.ams.org/cgi-bin/mstrack/accepted_papers/memo）； 2. Hongzi Cong, Meina Gao and Jianjun Liu, Long time stability of KAM tori for nonlinear wave equation, accepted by Journal of Differential Equations （http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039614004902）； 3. Lufang Mi, Shouxia Lu and Hongzi Cong (通訊作者), Existence of 3-dimensional tori for 1D complex Ginzburg-Landau Equation Via a degenerate KAM theorem , Journal of Dynamics and Differential Equations （2014）26， 21-56
