灰色系統理論模型

20世紀70年代末、80年代初，鄧聚龍提出了灰色系統理論，灰色系統理論是解決數據缺乏、不確定性問題的。灰色系統理論模型，又稱灰色模型或灰色動態模型，簡稱GM模型。其中最典型的是灰色模型GM(1,1)。

灰色建模則是用原始數據序列作生成數後建立微分方程。由於系統被噪音污染後，所以原始數據序列呈現出離亂的情況，這種離亂的數列也是一種灰色數列，或者灰色過程，對灰色過程建立模型，便成為灰色模型。

基本介紹

• 中文名：灰色系統理論模型
• 外文名：grey system theory model
• 別稱：灰色模型，灰色動態模型
• 簡稱：GM模型
• 提出時間：20世紀70年代末、80年代初
• 提出者：鄧聚龍

灰色系統理論

灰色系統理論是我國學者鄧聚龍教授於 1982 年首次提出，它通過在分析少數據、少信息的表面特徵，了解少數據、少信息的實際行為表現，探討少數據、少信息的潛在機制,歸納少數據的、少信息外部現象，探究少數掘、少信息的內在特性，揭示少數掘、少信息背景下事物的演化規律。總而言之，灰色系統理論的核必內容就是耍在少數據、少信息的不確定性背景下，通過基於數據的處理、現象的分析，達到預測模型的建立、針對發展趨勢的預測、事物的決策、系統的控制與狀態的進行有效合理的評估。

灰色系統理論建模前提

灰色系統理論其所以能夠建立微分方程型的模型，是基於下述概念、觀點和方法。

(1)灰色理論將隨機變數當作是一定範圍內變化的灰色變數，將隨機過程當作是在一定範圍、一定時區內變化的灰色過程。

(2)灰色理論將無規律的原始數據經生成後，使其變為較有規律的生成數列再建模，所以GM模型實際上是生成數列模型。

(3)灰色理論按開集拓撲定義了數列的時間測度，進而定義了信息濃度，定義了灰導數與灰微分方程。

(4)灰色理論通過灰數的不同生成方式，數據的不同取捨以及參差的GM模型來調整、修正、提高精度。

(5)灰色理論模型基於關聯度的概念及關聯度收斂原理。

(6)灰色GM模型一般採用三種檢驗,即參差檢驗、關聯度檢驗、後驗差檢驗。參差檢驗是按點檢驗，關聯度檢驗是建立的模型與指定函式之間近似性的檢驗，後驗差檢驗是參差分布隨機特性的檢驗。

(7)對於高階系統建模,灰色理論是通過GM(1,N)模型解決的。

(8)GM模型所得數據必須經過逆生成作還原後才能使用。

GM模型的數學原理

灰色系統理論與方法的核心是灰色動態模型，其特點是生成函式和灰色微分方程。

灰色動態模型是以灰色生成函式概念為基礎，以微分擬合為核心的建模方法，灰色系統理論認為：一切隨機量都是在一定範圍內、一定時段上變化的灰色量和灰過程，對於灰色量的處理不是尋求它的統計規律和機率分布，而是將雜亂無章的原始數據列，通過一定的方法處理，變成比較有規律的時間序列數據，即以數找數的規律，再建立動態模型。對於原始數據以一定方法進行處理，其目的有二：一是為建立模型提供中間信息；二是將原始數據的波動性弱化。

若給定原始時間數據列： 。這些數據多為無規律的、隨機的、有明顯的擺動，若將原始數據列進行一次累加生成，獲得新的數據列： 。其中：

新生成的數據列為一條單調增長的曲線，增加了原始數據列的規律性，而弱化了波動性。

灰色系統建模思想是直接將時間序列轉化為微分方程，從而建立抽象系統的發展變化動態模型，簡記為GM。建立的GM(h,n)模型，是微分方程的時間連續函式模型，括弧中的h表示方程的階數，n表示變數的個數。

灰色系統五步建模思想

系統模型的建立，一般要經歷思想開發、因素分析、量化、動態化、最佳化五個步驟，故稱為五步建模。

第一步：開發思想，形成概念，通過定性分析、研究，明確研究的方向、目標、途徑、措施，並將結果用準確簡煉的語言加以表達，這便是語言模型。

第二步：對語言模型中的因素及各因素之間的關係進行剖析，找出影響事物發展的前因、後果。一對前因後果(或一組前因與一個後果)構成一個環節。一個系統包含許多個這樣的環節。有時，同一個量既是一個環節的前因，又是另一環節的後果。將所有這些關係連線起來，便得到一個相互關聯的、由多個環節構成的框圖，即為網路模型。

第三步：對各環節的因果關係進行量化研究，初步得出低層次的概略量化關係，即為量化模型。

第四步：進一步收集各環節輸入數據和輸出數據，利用所得數據序列，建立動態GM模型，即動態模型。動態模型是高層次的量化模型，它更為深刻地揭示出輸入與輸出之間的數量關係或轉換規律，是系統分析、最佳化的基礎。

第五步：對動態模型進行系統研究和分析，通過結構、機理、參數的調整,進行系統重組，達到最佳化配置、改善系統動態品質的目的。這樣得到的模型，稱為最佳化模型。

五步建模的全過程，是在五個不同階段五種模型的建立過程：語言模型→網路模型→量化模型→動態模型→最佳化模型。

在建模過程中，要不斷地將下面階段中所得的結果向回反饋，經過多次循環往復，使整個模型逐步趨於完善。

灰色系統理論建模的基本思路

灰色系統建模的基本思路可以概括為以下幾點:

1.定性分析是建模的前提。

2.定量模型是定性分析的具體化。

3.定性與定量緊密結合，相互補充。

4.明確係統因素，弄清因素間的關係及因素與系統的關係是系統研究的核心。

5.因素分析不應停留在一種狀態上，而應考慮到時間推移、狀態變化，即系統行為的研究要動態化。

6.因素間的關係及因素與系統的關係不是絕對的，而是相對的。

7.為了將控制論中卓有成效的方法和成果推廣到社會、經濟、農業、生態等研究領域中，系統模型應控制化。

8.要通過模型了解系統的基本控制性能，如是否可控，變化過程是否可觀測等。

9.要通過模型對系統進行診斷，搞清現狀，揭示潛在的問題。

10.應從模型獲得儘可能多的信息，特別是發展變化信息。如系統是能夠持續不斷發展的，還是有限度的?對於持續發展的系統，它是單調地發展，還是有波動地發展?是迅猛地發展，還是緩慢地發展?對於有一定發展限度的系統其極限值是多少?它是單調地達到極限，還是有擺動地達到極限?是迅速地達到極限，還是緩慢地達到極限?系統發展過程中有沒有衝擊等。

10.建立模型常用的數據有以下幾種：(1)科學實驗數據；(2)經驗數據；(3)生產數據；(4)決策數據。

12.序列生成是建立灰色模型的基礎數據。

13.對於滿足準光滑條件的序列，可以建立GM微分模型。一般非負序列累加生成後，可得到準光滑序列。

14.模型精度可以通過灰數的不同生成方式、數據的取捨、序列的調整、修正以及不同級別的殘差GM模型補充得到提高。

15.灰色理論採用三種方法檢驗、判斷模型的精度：(1)殘差大小檢驗，是對模型值和實際值的誤差進行逐點檢驗；(2)關聯度檢驗，通過考察模型值曲線與建模序列曲線的相似程度進行檢驗；(3)後驗差檢驗，是對殘差分布的統計特性進行檢驗。

灰色模型 GM(1,1)基本步驟

(1) 通過原始數據序列 的一次累加生成 ，即：

(2) 檢驗原始序列 的光滑性。

(3) 檢驗生成序列 是否有準指數規律。當滿足準指數規律時，可對序列 建立 GM(1,1)模型。

(4) 作 的緊鄰均值生成序列 ， 其 中 ，構造累加矩陣 B 與常數項向量Y 為 ：

(5) 為求得灰色預測模型的時間回響式對參數進行最小二乘估計，得。

(6) 得累減還原值。

(7) 誤差檢驗。