潛無限是在數學基礎研究中指無限是一種永無終止的過程。古希臘亞里士多德是歷史上明確區分實無限和潛無限的第一人。僅承認潛無限而否認實無限的立場是數學中潛無限論者的基本觀點。19世紀，柯西和魏爾斯特拉斯建立了嚴格的極限理論，使這一觀點在數學中占了主導地位。19世紀末，康托爾建立的集合論使實無限重新成為數學的對象。
基本介紹
- 中文名：潛無限
- 外文名：Potential Infinity
- 性質：一種無限觀
- 相關概念：實無限
- 所屬領域：數理哲學
- 基本觀點：無窮永遠是進行式
基本定義,觀點內容,主要人物,
基本定義
實無限和潛無限(actualinfinity and potential infinity)兩種不同的無限觀。潛無限是指把無限看成一種過程，一種永遠處於生成狀態之中的過程，實無限則是指把無限看成現實存在的，已經生成了的對象。
在數學的歷史上，圍繞實無限概念和方法在數學中套用的合理性問題曾有過長期的爭論。例如，現代數學基礎研究中的直覺主義者就可看成潛無限論者，因為他們對數學中的實無限概念和方法採取了絕對否定的態度，形式主義者可以說成方法論的實無限論者，因為雖然他們也認為實無限的對象是不具有任何客觀意義的，但同時都又認為，出於方法論的考慮，仍然可以把非有限的成分作為理想元素引入到數學中來，現代數學哲學研究中的柏拄圖主義者所採取的則是實無限證者的立場：他非但對實無限概念和方法在數學中的套用持肯定的態度，而且還認為，實無限的對象具有客觀實在性。由於無限觀的分歧，在直覺主義與形式主義以及形式主義與柏拉圖主義之間曾有過激烈的爭論，一般地說，這一分歧事實上也就是數學哲等中各種觀點的實際分界線所在。
觀點內容
從自然數角度出發的潛無限和實無限
Aristotle將無限定義為“不可得”，無限定義在所有能夠用一個無終結的過程來描述無限的情形，這個過程是無限序列步驟，後面一步總不同於前面一步。用這個定義，一個圓儘管沒有始點和終點，但不能看作無限，總可以找到一個和前面一樣的後續。
儘管Aristotle承認每一個自然數的存在，但全體自然數不可得，不能被人類所認識。他沒有將自然數看作實無限，相反，他們可以表征為潛無限。事實上，Aristotle將無限看作永遠沒有完竭的過程(endless process)。無限沒有起點，沒有終點，存在一個“後續”(successor)，每一項永遠和前面的項(predecessor)不同。這個過程永遠不能完成，稱之為潛無限(potential infinity)。比如，數數的過程需要所有時間才能完成，這是人力達不到的。受時間的局限，無法達到無限的整體。在他看來，無限數量化不可理解。而是將無限看作永遠在延伸著的、一種變化著成長著被不斷產生出來的東西來解釋。它永遠處在構造中、永遠完成不了、是潛在的。在他看來，量就是一個數字，一個靠計數達到所給數字。給定一個計數的不可到達的過程，就沒有類似無限量這樣的事情。
然而，Aristotle並沒有完全拒絕無限。因為它的存在有很多暗示：時間，可以無限分割；空間，似乎是沒有止境的。相應的是，人類無法想像一個無限實體以及它的實在的方面，並證實它的存在。倘若無限不能“一次都呈現”(all at once)，Aristotle就定義了兩種不同無限觀念：潛無限和實無限。這使他承認了無限的存在。Aristotle將實無限定義為瞬間的無限呈現(to be infinite present at a moment time)。他將這看作不可理喻。因為這樣的實在過程需要整個時間。他認為，無限全部被理解只能通過時間來實現，並且以潛無限來呈現。在Aristotle看來，所有對無限的拒絕就是拒絕實無限；另一方面，潛無限應看作“現實的基本特徵”，因而是可接受的。Aristotle相信它們的差別可以解決不同悖論。
徐利治認為，潛、實無限分歧的另一根源來自自然數列本身所具有的二重性質——“內蘊性”和“排序性”。所謂“內蘊性”是指自然數列所具有的內在性質。它們表現為自然數之間的各種特定的關係，如由種種數論性質表現出來的關係等。由於不斷延伸的數列將會不斷產生新的內蘊性，而層出不窮的內蘊性是不可能窮盡地被構造出來的，當然它們也就不可能作為無窮整體對象來把握。所以，從“內蘊性”角度看待自然數列，即著眼於含有內蘊性質的數列，就只能視為潛無限。
所謂“排序性”是指自然數依次相續的那種巨觀的外在性質。對此性質的把握不需要能動性的構造活動，而可將它看成是自然數列一貫到底的整體性質。既然如此，著眼於含有“排序性”的自然數列也就自然是實無限模式了。
從思維能動性角度出發的潛無限和實無限
徐利治認為潛無限和實無限問題還涉及人腦概念思維的能動性限度問題以及自然數列的二重性本質問題。古典哲學家Hegel就曾在《哲學史講演錄》中表述過：“時間和空間的本質是運動”。如果承認運動的客觀性，承認運動變化的過程中有時能在“臨界點”出現質態上的“突變”，而人腦概念理性思維具有反映“飛躍”的能力，則實無限概念的客觀性也就不難闡明了。
假設一個動點P從數軸上的坐標點1處滑動到坐標原點O處，那么顯然該點P必須經歷一切形如
的坐標點匯成的無限點集
。於是由一一對應
也就立即得出了
。在這個思維認識過程中，可以認識到P點與原點O的距離從非零變到零是一個數量性質上的突變，而這個突變立即導致形如 的坐標點個數由“有限”飛躍到“真無限”，相應地實無限概念
，即
的對應物也是由概念思維活動客觀地反映這種“飛躍現象”(量變到質變過程)的產物。
如上所述，就是科學認識論觀點下有關“實無限概念的客觀性”解釋。需要補充說明的是，正如幾何學上的圓是絕對完美的的理想事物，在現實中並不存在那樣。含有無限多元素的實無限N也並不存在於現實經驗中，而只是反映某種客觀實在關係的理想事物。Hilbert就不認為現實經驗中存在實無限，但卻欣然接受實無限概念，並認為那是通過思維的“外插”而獲得的一種理想事物。可以看出，他所說的思維外插，無非是指富有能動性的理性思維對“飛躍現象”作出的正確反映。
可見，實無限論者是默認概念思維具有反映“飛躍現象”的能動性，而潛無限論者由於不認識、不認可或不信賴概念思維的能動性，所以也就拒絕思考實無限對象，或不願接受由思維能動性產生的實無限概念。這說明兩種無限觀的分歧的可能根源之一就是由於“思維主體”在思維形態上的不同，一種思維形態默認思維反映飛躍的能動性，另一種則否認或無視能動性。
主要人物
Gauss於1831年7月12日寫給Schumacher的信說，“……我反對將無窮量作為一個實體，這在數學中是從來不允許的。所謂無窮，只是一種說話的方式，當人們確切地說到極限時，是指某些比值可以任意地趨近它，而另一些則允許沒有界線地增加。”Cauchy也不承認無窮集合的存在，因為部分能夠同整體構成一一對應這件事，在他看來是矛盾的。
尤其到了18世紀末至19世紀約百年時間中，隨著重建微積分基礎工作的完成，無窮小量被拒之於數學大廈之外，無窮小被看作實體的觀念在數學分析中亦被驅除了，而代之以“無窮是一個逼近的目標，可逐步逼近卻永遠達不到”的潛無限觀念。這種思想突出表現於現在標準分析中關於極限的定義中，並由此建立起了具有相當牢固基礎的微積分理論，使得潛無限思想在這段時期深入人心。然而，到本世紀60年代，A Robinson創立的非標準分析，使無窮小量再現光輝，榮歸故里，重新堂而皇之的登進數學的殿堂，而可與Cauchy的極限分庭抗衡了。尤其，在Cantor的無窮集合論中，體現的也是“無窮集合是一個現實的、完成的、存在著的整體”的實無限思想。Cantor將無窮集合用基數
來標記，無窮集合似乎可以當作量來處理。
主張實無限觀的哲學家和數學家有：Leibniz，Hegel，Dedekind， Cantor， Weierstrass，Hilbert， Russell，Godel，ThomPlatonists(Plato主義者)等。
表面上看來，Cantor—Zermel似乎在古典與近代集合論中完全貫徹了實無窮觀點，而Cauchy—Weierstrass在極限論中似乎完全貫徹潛無窮觀點。事實上，集合論和極限論中都包含潛無限和實無限這一對矛盾，並且，對於近現代數學系統中的那些涉及無窮觀的子系統而言，往往都是兼容潛無限和實無限的系統。作為極限本身而言，它既是潛無限，又是實無限，“實無限和潛無限是一個硬幣的兩個面”。
