海森堡模型

海森堡模型（英語：Heisenberg model）是一個自旋系統的統計力學的模型，常被用來研究磁性系統和強關聯電子系統中的相變與臨界點的現象。

基本介紹

• 中文名：海森堡模型
• 外文名：Heisenberg model
• 定義：自旋系統的統計力學的模型
• 研究：研究磁性系統和強關聯電子系統
• 相關條目：易辛模型
• 學科：量子力學

定義

在量子力學發展初期，海森堡首先提出自旋與自旋之間可能存在互動作用，其數學形式是兩個自旋角動量的內積 。海森堡模型的哈密頓算符是這些內積的總和。

其中自旋角動量的x、y、z三個分量之間的互易關係為 ， 為普朗克常數除以 ，為了方便以下討論假設 。如果只考慮最近鄰的自旋才存在互動作用，且互動作用的強度 都均等，則哈密頓算符簡化為

可定義上升算符 和下降算符 ，

則哈密頓算符可寫成

相較於易辛模型，海森堡模型除了考慮自旋z軸方向上的耦合以外，還考慮了x和y軸方向上的耦合，由於 ，這使研究海森堡模型必須考慮量子力學。

一維海森堡模型

考慮N個自旋排成一列，耦合強度 ，一維海森堡模型的哈密頓算符就寫成

如果是自旋-1/2的一維海森堡模型，在熱力學極限下 ，基態能量可利用貝特擬設方法求得 。

Haldane猜想

自旋半奇整數（1/2、3/2/、5/2…）和整數（1、2、3、…）的一維海森堡模型有不同的性質。

奇數（symmetry protected topological）和偶數（trivial）。

二維海森堡模型

Kagome晶格中的自旋液體。

各向異性

在磁性材料中，磁矩（或自旋）之間的互動作用除了用各向同性的（isotropic）海森堡模型描述以外，還可能出現一些各向異性（anisotropy）。當材料中有較強的自旋-軌道耦合時，常造成自旋想，想，x,y,z軸上的耦合強度不同，此時哈密頓算符改寫為

被廣泛研究的海森堡模型類型的模型是XXZ模型，也就是的情形，一維自旋-1/2的XXZ模型可利用貝特擬設嚴格求解。

當磁矩（或自旋）大於1/2，還可能出現另一種形式的各向異性，由晶格場造成的單軸各向異性，其數學形式為 。因此在磁性材料中常被用來討論的理論模型寫成XXZ模型加上單軸各向異性，

其中參數 和D 分別代表XXZ各向異性和單軸各向異性，當 且D=0，模型回歸到各向同性的海森堡模型。

相關條目

易辛模型，是一個以物理學家恩斯特·易辛為名的數學模型，用於描述物質的鐵磁性。該模型中包含了可以用來描述單個原子磁矩的參數，其值只能為+1或-1，分別代表自旋向上或向下，這些磁矩通常會按照某種規則排列，形成晶格，並且在模型中會引入特定互動作用的參數，使得相鄰的自旋互相影響。雖然該模型相對於物理現實是一個相當簡化的模型，但它卻和鐵磁性物質一樣會產生相變。事實上，一個二維的方晶格易辛模型是已知最簡單而會產生相變的物理系統。