流體平衡方程

方程式

靜止流體平衡方程式如右圖：

它表達了處於靜止（或相對靜止）狀態的流體中任一點上壓強與作用於流體的質量力之間的普遍關係。

X、Y、Z分別為作用於x,y,z方向的質量力。

這個方程式是1755年歐拉提出的，故也稱為歐拉平衡方程。

設一個靜止的流體中任一點A處得坐標是（x,y,z），劃出以A為中心的微小平行六面體作為隔離體。六面體各邊分別於直角坐標軸平行，其邊長分別為dx,dy,dz。

對作用於與這個流體微小六面體上的外力進行分析

（1）作用於六面體上的表面力。

設六面體中心點A的靜水壓強為p。那么，根據流體連續性的假設，它應是坐標的連續函式，即p=p(x,y,z)。於是根據靜水壓強p在A附近的變化，沿x方向作用在邊界面中心A1和A2點上的壓強p1,p2，可以表示為：

因此，作用在x方向兩邊界面上的靜水總壓力為：

同理，對於其他和y、z軸相平行的面上的力，也可以寫出相應的表達式。

（2）作用於六面體的質量力。

設作用於單位質量流體上的質量力在x方向的分量為X，則作用於六面體上的質量力在x方向的分力為X·ρdxdydz,其中ρ為流體的密度，ρdxdydz為六面體的質量。當然，沿y、z方向也同樣有質量力Y·ρdxdydz，Z·ρdxdydz。

根據流體的平衡條件，這兩種作用力必須平衡。則各力在軸上的投影之和應為零，即：

在給定質量力的作用下，對上公式積分，便可得到靜止流體中壓強p的具體分布規律。如果已知流體表面或內部任意點處得力函式U和壓強P0，則上式積分以後得:p=P0+ρ（U-U0）

這就是在具有力函式U的某一質量力作用下，靜止流體內任一點p的表達式。

在上式中，可以看出，當p0值有所增減時，則在所研究的平衡流體中，各處的壓強p也相應地有同等數值的增減。由此可得：在處於平衡狀態的不可壓縮的流體中，作用在其邊界面上的壓強，將等值、均勻地傳遞到流體的所有各點，這就是帕斯卡定律。