法坐標系

法坐標系是曲面S上的一種特殊坐標系。指數映射和法坐標系是屬於曲面內蘊幾何學的概念，適用於任意維數的黎曼流形。

基本介紹

• 中文名：法坐標系
• 外文名：normal coordinate system
• 適用領域：數理科學
• 所屬學科：數學

定義

對於每一點 ，都有一個正數 ，使得指數映射 是從切空間 在原點的鄰域 到曲面 S 在點 p 的鄰域 的可微同胚。特別地，如果在 中取笛卡爾直角坐標系 （x，y），則（x，y）同時也是曲面 S 在點 p 的鄰域 U 上的坐標系，即

。

這樣的坐標系稱為曲面 S 在點 p 的法坐標系（normal coordinates）。在點 p 的法坐標系下，從點 p 出發的測地線的方程成為

式中，a，b是不全為零的常數。此外，曲面的第一基本型的係數在該點是 並且克氏符號在該點全為零，即 。

指數映射

[exponentia mapping]

在曲面 S 上固定一點 p。在曲面 S 上從點 p 出發、沿任意一個切向量 v 作以弧長 s 為參數點測地線 ，並且在該測地線上截取 的點，則把切向量 映到曲面 S 上的點 的映射稱為曲面 S 在點 p 的指數映射，記為 。

套用

指數映射和法坐標系是屬於曲面內蘊幾何學的概念，適用於任意維數的黎曼流形。此時，在 n 維完備黎曼流形 M 上從任意一點 p 出發、任意一個切向量 作以弧長 s 為參數的測地線 ，並且在該測地線上截取 的點，則把切向量 映到黎曼流形 M 上的點 的映射稱為黎曼流形 M 的指數映射，記為 ，其中 是 M 的切叢如果點 是取定的，將指數映射 exp 限制在切空間 上得到 稱為黎曼流形 M 在點 p 的指數映射。如果不假定 M 是完備的，則指數映射 exp 在切叢 TM 中圍繞零截面的一個鄰域上有定義，指數映射 在切空間 中圍繞零向量的一個鄰域上有定義。