射影定理

射影定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。射影定理是數學圖形計算的重要定理。

概述圖中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

由古希臘著名數學家、《幾何原本》作者歐幾里得提出。

此外，當這個三角形不是直角三角形但是角ABC等於角CDB時也成立。可以使用相似進行證明，過程略。

基本介紹

• 中文名：射影定理
• 外文名：Right triangle altitude theorem
• 別稱：歐幾里德定理 第一餘弦定理
• 表達式：BD2=AD·DC  AB2=AC·AD  BC2=CD·AC
• 提出者：歐幾里得
• 套用學科：數學幾何
• 適用領域範圍：建築，測量，光學，航海，航空和製造業
• 適用領域範圍：數學圖形三角形
• 記載著作：《幾何原本》
• 提出者國家：古希臘

定義

在△ABC中，設∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則有

a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA

這三個式子叫做射影定理。

驗證推導

①CD²=AD·BD;

②AC²=AD·AB;

③BC²=BD·AB;

④AC·BC=AB·CD

證明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

②∵CD²=AD·BD(已證)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD

④∵S△ACB= AC×BC= AB·CD

∴ AC·BC= AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

定理推廣

歐幾里得提出的面積射影定理projective theorem規定“平面圖形射影面積等於被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的餘弦。(即COSθ=S射影/S原）。”

射影定理的推廣證明

在四面體A－BCD中，有

面積射影定理

(平面多邊形及其射影的面積分別是 和 ,它們所在平面所成的二面角為 )

證明思路

因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的乘積比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。

正射影二面角的歐幾里得射影面積公式

那么這個比值應該是平面所成角的餘弦值。在兩平面中作一直角三角形，並使斜邊和一直角邊垂直於棱（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），則三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比。將此比值放到該平面中的三角形中去運算即可得證。

提出者簡介

歐幾里得（希臘文：Ευκλειδης ，公元前325年—公元前265年），古希臘數學家，被稱為“幾何之父”。他活躍於托勒密一世（公元前323年－公元前283年）時期的亞歷山大里亞。

直角三角形中的射影定理

他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。