橢圓面積公式：S=π(圓周率)×a×b，其中a、b分別是橢圓的長半軸，短半軸的長。橢圓面積公式屬於幾何數學領域。
基本介紹
- 中文名：橢圓面積公式
- 表達式：S=π×a×b
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：幾何數學領域
面積公式,定理內容,導數方法,陰影面積,
面積公式
S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸，短軸的長).
c1c2clone可以依據關於圓的有關公式，類比出關於橢圓公式.
定理內容
如果一條固定直線被甲乙兩個封閉圖形所截得的線段比都為k，那么甲面積是乙面積的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 （a>b>0）的面積為π * a^2 * b/a=πab
因為兩軸焦點在0點，所以橢圓的面積可以分為4個相等的部分，分別是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四個區域，所以只要求出一個象限間所夾的面積，然後再乘以4就可以得到整個橢圓的面積。揀最簡單的來吧，先求第一象限所夾部分的面積。 根據定積分的定義及圖形的性質，我們可以把這部分圖形無限分為底邊在x軸上的小矩形，整個圖形的面積就等於這些小矩形面積和的極限。現在套用元素法，在圖 形中任找取一點，然後再取距這點距離無限近的另一個點，這兩點間的距離記做dx，然後取以dx為底邊，兩點分別對應的y為高，與曲線相交夠成的封閉的小矩 形的面積s，顯然，s=y*dx 現在求s的定積分，即大圖形的面積S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y關於x的定積分 步驟：（第一象限全取正，後面不做說明） S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 設 x^2/a^2=sin^2t 則 ∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圓周率 ∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 這裡需要用到一個公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 證明如下 sinx=cos(pi/2-x) 設u=pi/2-x 則 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 則∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2) 則S=a*b*(pi/4) 橢圓面積S_c=a*b*pi 可見橢圓面積與坐標無關，所以無論橢圓位於坐標系的哪個位置，其面積都等於半長軸長乘以半短軸長乘以圓周率
導數方法
設橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1
取第一象限內面積 有 y^2=b^2-b^2/a^2*x^2
即 y=√（b^2-b^2/a^2*x^2)
=b/a*√(a^2-x^2)
由於該式反導數為所求面積，觀察到原式為圓方程公式*a/b，根據(af(x))'=a*f'(x),且x=a時圓面積為a^2π/4
可得 當x=a時，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4
即S=abπ。
此方法比較容易理解。
陰影面積
眾所周知，斜切圓柱所得截面即為橢圓，這在高中數學圓錐曲線一章有闡述，下面就用陰影面積法巧妙求解橢圓面積。圓形面積與橢圓面積之比為cosθ，則cosθ=πR^2/S=2R/2a，橢圓短軸b即為圓柱底面半徑R,即R=b，所以S=πR^2*a/R=πaR=πab
