模糊聚類法

把模糊數學方法引入聚類分析即產生了模糊聚類分析方法。模糊聚類分析方法大致可分為兩種：一是基於模糊關係上的模糊聚類法．並稱為系統聚類分析法。另一種稱為非系統聚類法，它是先把樣品粗略地分一下，然後按其最優原則進行分類，經過多次疊代直到分類比較合理為止，這種方法也稱為逐步聚類法。我們通常講的模糊聚類分析是指將模糊數學的原理套用到系統聚類分析的方法。模糊聚類分析的步驟：(1)確定聚類單元全集U；(2)確定聚類準則和聚類因子；(3)根據聚類準則及因子進行數據的調查與整理；(4)將統計數據進行元量綱處理．稱為正規化。

基本介紹

• 中文名：模糊聚類法
• 產生：將模糊數學理論套用於聚類分析
• 基本過程：計算樣本或變數間的相似係數
• 特點：表達了樣本類屬性的中介性

什麼是模糊聚類法

在經濟學、社會學、生物學、氣象學、醫藥等許多領域的研究中，經常遇到處理具有模糊性的數據問題。這裡所謂的模糊性，主要是指客觀事物差異的中間過渡中的“不分明性”和“邊界不清”的意思，例如商品評價中“質量好、比較好、比較差等”，氣象災害對農業產量的影響程度為“嚴重、重、輕”，病人患某種疾病的症狀是“重、輕”以及“有礦與無礦”，“冷、暖”“多雲間晴”都難以明確地劃清界限。

為了研究這方面的問題，1965年由美國自動控制專家查德(L.A.Zadeh)首先提出模糊集合的概念，之後成功的用數學方法描述模糊概念，從而產生了模糊數學。從模糊數學的誕生到現在也僅有幾十年的歷史，其理論尚不十分完善，但是這門科學的發展非常迅速，模糊數學套用的觸角已伸人到國民經濟領域的各個學科。模糊數學的理論基礎是模糊集理論，下面介紹模糊集理論套用到聚類分析中從而產生了模糊聚類法。

模糊聚類的基本概念

特徵函式

對於一個普通的集合E，空間中任一元素x要么有x∈E，要么有 ，二者必居其一，這一特徵用·個函式表示為

稱k(z)為集合E的特徵函式。

例如，設E為某地區在某年度完成國家利稅的企業全體，這時對該地區任一企業x，我們可用特徵函式描述它是否完成了國家利稅，即

隸屬函式與模糊集

如果我們進一步描述某企業完成國家利稅的程度大小時，僅用特徵函式就不夠了。模糊集理論變將特徵函式的概念推廣到[0，1]內取值的函式以度量這種程度的大小，這個函式稱為集合E的隸屬函式，記為E(x)，即對於每一個元素x，有[0，1]內的一個數E(x)與之對應。

若在集合E上定義了一個隸屬函式，則稱E為模糊集。

模糊矩陣及其褶積

(1)若矩陣A的各元素 滿足0≤ ≤1，則稱A為模糊矩陣。

(2)設A= 和B= 為兩個模糊矩陣，令

則稱矩陣C= 為模糊矩陣A與B的褶積，記為C=AB。

其中“∨”和“∧”的含義為：a ∨b=max{a，b}， a ∧ b=min{a，b}。

顯然，兩個模糊矩陣的褶積仍為模糊矩陣。

模糊等價矩陣及其λ截陣

設方陣A為一模糊矩陣，若A滿足

則稱A為模糊等價矩陣。

模糊等價矩陣可以反映模糊分類關係的傳遞性，即描述諸如“甲像乙，乙像丙，則甲像丙”這樣的關係。

設A=為一個模糊等價矩陣，0≤λ≤1為一個給定的數，令

則稱矩陣為A的λ-截陣。

模糊聚類方法

具體步驟如下：

(1)計算相似係數矩陣R或樣品的距離矩陣D。

(2)將(或中的元素縮到0與1之間形成模糊矩陣，我們統一記為A=，例如對相似係數矩陣，可令

對於距離矩陣，可令

(3)建立模糊等價矩陣

一般說來，上述模糊矩陣A=不具有等價性，這可以通過模糊矩陣的褶積將其轉化為模糊等價矩陣，具體方法如下：

計算，直到滿足，這時模糊矩陣A^k便是一個模糊等價矩陣。記。

(4)聚類

將按由大到小的順序排列，從λ=1開始，沿著由大到小的次序依次取λ=，求的相應的λ-截陣，其中元素為1的表示將其對應的兩個變數(或樣品)歸為一類，隨著λ的變小，其合併的類越來越多，最終當A=min{a。)時，將全部變數(或樣品)歸為一類。