極小集

極小集(minimal set)是動力系統一個重要的不變集合，設f是M上的一個動力系統，若N是f的非空的閉不變集，並且N中不存在真子集也具有這種性質，則集合N⊂M稱為極小集。特別地，若M本身是極小集，那么該動力系統就稱為是極小的。判斷一動力系統何時為極小的以及尋求一動力系統的極小集何時具有簡單形式是動力系統研究的重要問題。周期軌道是一個極小集，對圓周上的C²微分同胚，它的極小集或為一周期軌道或為整個圓周。緊極小集上所有軌道都是回復的，此外，完備空間中回復軌道的閉包是極小集。任何緊空間上的動力系統都存在極小集，極小集是由伯克霍夫(G.D.Birkhoff)於1922年引入的。

基本介紹

• 中文名：極小集
• 外文名：minimal set
• 所屬學科：數學(動力系統)
• 屬性：動力系統一個重要的不變集合

基本介紹

設 是 的一個緊緻的不變集，而且M的任何(非空) 緊緻的真子集都不是 的不變集，則稱M是 的極小集。

換句話說，如果 在極小集M內有一個緊緻的不變集 ，那么K= M。由此可以導出許多有趣的性質例如，設M 是 的極小集，則 。從而 。因此， 也是緊緻的。由

極小集的定義，就推出

或者

這是極小集的一個特徵，在動力系統理論中，極小集占有特殊的地位。

相關性質

定理1 設軌線 是正向(或負向)B-式回復的，則它的閉包 是一個極小集。

定理2設M是動力系統 的極小集，則過任一點 的運動 是(雙向)B-式回復的。

定理2說明，在極小集中的運動都是(雙向) B-式回復的。因此，極小集是鑑別B-式回復運動的一個簡單的幾何方法。

注意，極小集一定是準極小集，而且它的每條軌線(在極小集內) 都是處處稠密和雙向B-式回復的。然而，在準極小集內不一定每條軌線都是處處稠密的。

極小集的存在性

下述命題是著名的極小集存在定理。

定理3設 是動力系統 的(非空)緊緻不變集，則 在K內至少有一個極小集。

這裡順便指出，動力系統的極限點集和極限點集都是不變的閉集。因此，當或是緊緻時，的極小集是存在的，從而的B-式回復運動也是存在的，它們可以是平凡的，也可以是非平凡的。特別，對於平面動力系統，極小集都是平凡的(它們不是奇點就是閉軌)。這樣，由極小集存在定理可以得到下述Poincaré-Bendixson定理：

如果平面動力系統有一個正向(或負向)有界的運動，而且它的正向極限點集(或負向極限點集)不包含奇點，則(或)是一條閉軌。