極小化序列

極小化序列

極小化序列(minimizing sequences)是指使泛函值的極限為泛函極小值的函式序列。設E是實Banach空間, D⊂E, f是定義在D上的實泛函。若存在{xn} ⊂D,使得:f(xn)→infx∈Df(x),則稱 {xn} 為泛函 f 的極小化序列。

基本介紹

  • 中文名:極小化序列
  • 外文名:minimizing sequences
  • 所屬學科:數學
  • 所屬領域:偏微分方程
  • 相關概念:希爾伯特空間、泛函等
定義,相關概念與命題,

定義

變分學和最最佳化的中心問題是求定義在Banach空間某一子集D上的泛函的最小值點。下面介紹最小值點的逼近——極小化序列。
定義1 設E是實Banach空間,
是定義在D上的實泛函。若存在
,使得
則稱
泛函
極小化序列

相關概念與命題

命題1
是一凸集
是嚴格凸泛函,則至多存在一點
,使
證明: 若在D中存在
,使得
,有
此與
是最小值點矛盾。證畢。
定理1 設E是實自反Banach空間,實泛函
是G-可微、強制和嚴格凸的,則
的任一極小化序列弱收斂於
的唯一最小值點,此時最小值點當然也是臨界點。
證明:首先由假設知,
在整個空間E中有唯一的最小值點
,且為
的臨界點。
再證每一個極小化序列
都是有界的:若不然,設
無界,於是存在子列
。由
的強制性,存在
使得當
時,恆有
因此有
此矛盾證明了
的有界性。
然後,由
有界,結合E自反知,存在
,使得
再考慮到
的最小值點及
的弱下半連續性得
所以
由嚴格凸泛函最小值點的唯一性得
,於是
最後證
若不然,不妨設有子列
則有
此與
的唯一最小值點矛盾。證畢。

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