棣莫佛（De moivre, 1667～1754）於1667年出生於法國香檳，長大後在巴黎從師學習數學。由於宗教信仰的緣故，十八歲那年他被迫離開自己的祖國，去了英國倫敦。在那裡，他靠做家庭教師以及為有錢人解決賭博中的機率問題為生，直到去世。他很想在劍橋或其它大學謀一個數學教授之職，卻未能如願。他的數學工作主要在機率論和三角學方面，著有《人生保險》（1725）、《機會學說》（1718）和《分析雜記》（1730）等，並發表了許多重要論文。
基本介紹
- 中文名：棣莫佛公式
- 外文名：De moivre
- 出生地：法國香檳
- 出生日期：1667
- 逝世日期：1754
簡介,公式證明,相關,
簡介
由於在數學上成就卓著，他被選為英國皇家學會會員，柏林科學院和巴黎科學院的外籍院士。棣莫佛是牛頓的親密朋友，他的數學才能深受牛頓的推崇。牛頓晚年常常對一些向他請教數學問題的人說：“去找棣莫佛先生吧，他比我更精通這些問題。”作為大數學家，棣莫佛在英國享有盛譽。他的同代人，英國著名詩人波普（A. Pope, 1688～1744）在《人類小品》中吟道：
是誰教那蜘蛛
不用直線或直尺幫忙
畫起平行線來
和棣莫佛一樣穩穩噹噹
詩人筆下的棣莫佛，無疑成了數學家的代名詞了。棣莫佛的死是一個奇蹟，在去世前不久，他聲稱以後每天將比前一天多睡一刻鐘。最後，他睡了二十四小時，從此再也沒有醒來。
公式證明
把複數用三角式（具體參見複數）表示：
棣莫佛定理 c=r(cosa+isina)
證明：
或者表示為：
r(cos+isina) 的n次方根=n次根號下{r×[cos((a+2k)/n)+isin((a+2kπ)/n)]} 其中k=0,1,2...n-1
先引入歐拉公式：e^ix = cosx + isINX
1.將e^t，sint ， cost 分別展開為泰勒級數：
e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
將t = ix 代入以上三式 ，可得歐拉公式
套用歐拉公式，（cosx+isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
證畢
證明：
或者表示為：
r(cos+isina) 的n次方根=n次根號下{r×[cos((a+2k)/n)+isin((a+2kπ)/n)]} 其中k=0,1,2...n-1
先引入歐拉公式：e^ix = cosx + isINX
1.將e^t，sint ， cost 分別展開為泰勒級數：
e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
將t = ix 代入以上三式 ，可得歐拉公式
套用歐拉公式，（cosx+isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
證畢
相關
泰勒級數
（cosx+isinx)*(cosy+isiny)=cosx*cosy - sinx*siny +(sinx*cosy +cosx*siny)*i=cos(x+y)+isin(x+y) 令x=y=n 可得 (cosn+isinn)^2 = cos(2n)+isin(2n) 令x=n y=2n,可得 (cosn+isinn)*(cos2n+isin2n)=cos3n+isin3n
