梯度下降流

梯度下降流（gradient descent flow）是由希爾伯特流形上泛函的負梯度向量場所生成的流。

基本介紹

• 中文名：梯度下降流
• 外文名：gradient descent flow
• 適用範圍：數理科學

簡介

梯度下降流是由希爾伯特流形上泛函的負梯度向量場所生成的流。

設M是希爾伯特流形，f∈C(M,R)。在M上由f的負梯度向量場-▽f所生成的流η稱為f的梯度下降流，或負梯度流，有時亦稱為梯度流。

性質

在過M上每點p的流線η(p,t)上，泛函f的值f(η(p,t))是隨t的增大而遞減的。

梯度向量場

梯度向量場是由希爾伯特流形上的C泛函的梯度所形成的切向量場。梯度向量場生成的動力系統比較簡單，它們沒有周期軌，而且所有摩爾斯-斯梅爾梯度向量場（一類簡單的結構穩定的向量場）在所有梯度向量場是開稠的。

設是 n 維歐幾里得空間上的一個光滑函式。由 f 所確定的上的梯度向量場定義為

其中

為 f 的梯度。這裡之所以出現負號是一種習慣用法。