基本介紹
- 中文名:偽梯度流
- 外文名:pseudo-gradient flow
- 適用範圍:數理科學
簡介,定義,性質,梯度向量場,
簡介
當M是一般巴拿赫流形,f∈C(M,R)時,餘切向量場df不能用來構造下降流;
當M是希爾伯特流形而f∈C(M,R)時梯度向量場∇f也不能用來構造下降流。偽梯度向量場是克服這兩種困難的工具。
定義
設M是C巴拿赫-芬斯勒流形,f∈C(M,R),記K為f在M上的所有臨界點所成之集,令
= M\K。若V是
上的一個C(切)向量場,且滿足條件:
![](/img/9/40b/wZ2NnL3EGN4UWZyMDZzQjZxUDMmZDZhhDN5YWZ1EGMhRmMlZzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/9/40b/wZ2NnL3EGN4UWZyMDZzQjZxUDMmZDZhhDN5YWZ1EGMhRmMlZzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
1.
;
![](/img/7/a9c/wZ2NnLhVzYxEWZ1MDMhhTY2gjMlhzMxgzY3UTMlFTOwMmNzIzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
2.
,則稱V是f的一個偽梯度向量場。
![](/img/1/c63/wZ2NnLiFTY1AjYiFmZhRTZwADNlVWO3kTOwYTOxYTN4E2MllzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
性質
C巴拿赫-芬斯勒流形上任一C泛函的偽梯度向量場總是存在的。
由-V在
上生成的流稱為f的偽梯度下降流,或負偽梯度流,也常簡稱偽梯度流。f在負偽梯度流的流線上是下降的。
![](/img/9/40b/wZ2NnL3EGN4UWZyMDZzQjZxUDMmZDZhhDN5YWZ1EGMhRmMlZzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
梯度向量場
設
是 n 維歐幾里得空間
上的一個光滑函式。由 f 所確定的
上的梯度向量場
定義為
![](/img/6/c2c/wZ2NnLwUjYklTMmFWOwEGOmJzYxI2YhRzMzYjMiRmNklzYyAzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/d/116/wZ2NnL3MzMmFTN4cjMlZWYwMWM2QGMmNmMiljM4cjY0AjMwM2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/d/116/wZ2NnL3MzMmFTN4cjMlZWYwMWM2QGMmNmMiljM4cjY0AjMwM2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/a/7b2/wZ2NnL5AzMkJWOlRzYxIDO2QWM3UjZ0EjY4IDM2kzYyAzYjV2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/f/907/wZ2NnL4ETO3I2YkhzYkV2Y2IDMkZTY0kTZmVTMkRGN3ITOjdzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/8/844/wZ2NnLiNGNlhzY3QjN0gjZhhzNmZzMwUDMilzMkJjNmZzY0EzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)