《校準理論中若干問題的研究》是依託東北師範大學，由張永勝擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：校準理論中若干問題的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張永勝
- 依託單位：東北師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
極小子流形是微分幾何的重要課題，是體積變分臨界點的幾何；而幾何測度論的一個研究重心正是變分時的奇點情形。校準理論是二者間的天然橋樑，是研究同調最小子流形、current 及 foliation 的重要手段。例如：在著名的 Bernstein 問題的研究過程中，無論是極小超圖的最小性（從而得到無窮遠處切錐的最小性）還是 Bombieri，de Giorgi 和 Guisti ［10］證明 Simons 錐的最小性都藉助了校準理論。雖然該問題幸運地得到了解決，但涉及的諸多關鍵問題依然無法得到回答，如：無窮遠處切錐是否唯一，此類最小錐的分類等。本項目一方面是為研究這些問題作鋪墊，一方面是在申請人博士論文及後續研究 ［48，50-52］的基礎上回答 Lawson，Morgan 等專家關心的問題。具體地，我們將通過校準理論研究最小錐的多樣性，最小錐實現問題及最小 current 分布問題等。
結題摘要
1.幾何測度論中的一個重要結論是：最小current在奇點處的任何切錐（如存在）也是最小的。那么自然的反問題：最小錐是否可以實現為某一個緊緻最小current奇點處的切錐呢？本項目不同於N. Smale在Invent. Math. 135 (1999)中的方法，獨特創新地通過校準理論給出了該實現問題構造的新思路，為徹底解決所有最小超錐的實現提供了嶄新途徑。2.校準理論是與最小子流形的對偶理論。廣義最小子流形與廣義校準的對偶性是領域內熟知的。當最小子流形光滑時，是否有光滑校準與之對應呢？這是一個非常有趣的基本問題。本項目研究了這個問題，在國際上率先發現了：一般而言，無法保證存在光滑校準與給定的光滑最小超曲面對應。該成果在量子計算方向有潛在套用，被數學界最高獎 Fields 獎得主M. Freedman以及物理學家M. Headrick在Commun. Math. Phys. (2017) 的合作文章《Bit threads and holographic entanglement》引用並提出關注的後續問題。3.極小曲面Dirichlet問題可以追溯到十八世紀的拉格朗日，是微分幾何領域的重要課題之一。1977年Lawson-Osserman在高余維極小曲面Dirichlet問題上得到了突破性工作。本項目本質系統推進了相關研究，取得了國際上40年來該方向的重要突破。發表在J.M.P.A.的文章系統地找到了不可數無窮多的邊界條件，它們都支持無窮多個光滑解並且還支持（至少）一個非光滑解。這裡的突破了Lawson-Osserman發現的解的有限多不唯一現象。Adv. Math.的文章肯定回答了空白長達40年的領域內難題 —— 最初的Lawson-Osserman第二、第三錐也是最小的；實際上，該文證明了所有（n,p,2）型Lawson-Osserman錐都是最小的。4.第3部分得到的最小錐均同胚於歐氏空間。為了探索拓撲非平凡的最小錐，本項目合作引入了minimal product，然後證明了：球面等參foliation的等參焦流形和等參極小超曲面之間的minimal product可以張成無窮多具有高度拓撲度的最小錐。第3、4部分的最小錐均可通過1中方法被實現。本項目已在相關領域多個方向形成了有機的系列突破性成果，為下一步研究打開了新局面、奠定了堅實基礎。
