柯西-布尼亞科夫斯基不等式(Cauchy-Bunjakovski inequality)是一種特殊不等式，指兩個向量的長度積與其內積絕對值(模)的關係，歐氏空間或酉空間V中任意兩個向量α與β必滿足|(α，β)|≤|α|·|β|，等號成立的充分必要條件是：α與β線性相關，此不等式稱為柯西-布尼亞科夫斯基不等式。
基本介紹
- 中文名：柯西-布尼亞科夫斯基不等式
- 外文名：Cauchy-Bunjakovski inequality
- 別稱：施瓦茲不等式
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：高等代數(歐幾里得空間)
- 簡介：兩向量的長度積與其模的關係
基本介紹,定理的證明,
基本介紹
柯西-布尼亞科夫斯基不等式指兩個向量的長度積與其內積絕對值(模)的關係，歐氏空間或酉空間V中任意兩個向量α與β必滿足|(α，β)|≤|α|·|β|，等號成立的充分必要條件是：α與β線性相關，此不等式稱為柯西-布尼亞科夫斯基不等式。例如，在n維歐氏空間R中，上述不等式為
1821年，對於歐氏空間Rn，柯西(A.L.Cauchy) 證明了在一般情況的這一不等式；1859年，布尼亞科夫斯基(В.Я.Буняковский)證明並系統地套用了這一不等式；1885年，施瓦茲(H.A.Schwarz)在其文章《紀念文集》中論證了這個不等式，因而也稱這個不等式為施瓦茲不等式。
定理的證明
設函式
和它們的平方在區間[a,b]上可積，證明柯西-布尼亞科夫斯基不等式
提示：考慮積分
其中
為任意實數。
證明考慮積分，其中為任意實數．從而有
