《某些分形集上的調和分析》是依託清華大學，由胡家信擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：某些分形集上的調和分析
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：胡家信
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究分形集上的調和分析。主要任務有：（1）研究某些分形集上關於非局部狄氏型上的調和分析，包括特徵值估計、容量估計、有效阻抗估計、Green函式的性態、熱核估計、函式空間包括索伯列夫空間等相關問題，進一步發展和完善現有的分析理論和研究工具；（2）構造Sierpiński墊片上的偽局部狄氏型及其熱核，並將結果推廣到更一般的分形，包括Kigami引入的後臨界有限自相似集等；（3）研究分形集上一類特殊馬氏過程的熱核；（4）與狄氏型和熱核密切相關的某些其它重大和前沿問題,包括證明或反證明對加倍度量空間上的局部、守恆的正則狄氏型，其熱核的上界估計等價於第一個特徵值在球上的雙邊估計加Faber-Krahn 不等式，以及利用純分析的方法，構造平面上的Sierpiński地毯的狄氏型以及熱核估計，並且尋找遊動維數的精確值；（5）在國際一流數學刊物上發表研究成果；（6）廣泛展開國內外學術交流，培養人才。
結題摘要
分形分析是近年來國際研究的焦點，涉及分形幾何、偏微分方程、機率論與隨機過程、圖論、函式空間、調和分析等眾多數學領域。本項目主要研究內容有：（1）某些分形集上上的調和分析，包括強局部狄氏型的構造、熱核估計、以及函式空間包括索伯列夫空間的刻畫等相關問題，進一步發展和完善現有的分析理論和研究工具；（2）刻畫一般度量空間上熱核估計的等價條件；（3）非局部狄氏型熱核下界估計。本項目有如下成果：（1）度量測度空間上Green函式與熱核：申請人和德國比勒菲爾德大學的Alexander Grigor’yan合作，對度量測度空間上狄氏型熱核的上界估計，給出了一個新的等價刻畫，該文長達59頁，在國際前沿數學期刊 Canadian Journal of Mathematics發表（2014， pp. 641–699）發表；（2）非局部正則狄氏型的熱核估計：對度量測度空間上一類非局部正則狄氏型的熱核上界估計，給出了全新的證明方法。利用拋物方程極大值原理， 本文發展了一套處理該問題新的完整分析技巧，論文發表在國際一流數學雜誌Trans. Amer. Math. Soc. (2014)；（3）加倍度量空間上熱核上界估計：考慮加倍度量空間上的正則、保守、局部（regular, conservative and local）的狄氏型，本文從分析和機率兩種角度，給出熱核上界估計的各種等價刻畫，形成一套較完整的、封閉的研究熱核上界估計的基本框架，該文發表在Moscow Math. J. （2014）；（4）度量測度空間上廣義容量、哈納克不等式和狄氏型的熱核：對度量測度空間上強局部正則狄氏型的熱核次高斯估計，給出了一個新的等價刻畫，該文長達65頁，在國際主流數學期刊 Journal of the Mathematical Society of Japan專刊（紀念國際著名數學家、Wolf獎獲得者伊藤清誕辰一百周年）發表（2015）；（5）度量測度空間上熱核的下界估計：對度量測度空間上非局部正則狄氏型的熱核下界給出了一個精確刻畫，該文利用分析技巧，證明熱核下近似對角估計加上生存估計，可以推出熱核的完全下界估計，論文發表在國際一流數學雜誌Journal of Functional Analysis (2017)。
