《李群上的信息幾何結構及其套用》是依託北京理工大學，由孫華飛擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：李群上的信息幾何結構及其套用
- 依託單位：北京理工大學
- 項目負責人：孫華飛
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
S.Amari 利用微分幾何建立了信息幾何學。他的主要思想是引入比黎曼聯絡更廣泛的仿射聯絡- - -對偶聯絡以及把一種只滿足非負性的散度作為距離函式。由於它在統計推斷、信息領域以及統計物理等領域的成功套用，受到國內外的廣泛關注，正在成為熱門的研究領域之一。.本項目擬研究：.1、把李群和李代數的理論引入到信息幾何的框架下，建立更加深入的信息幾何理論.2、把李群信息幾何理論套用到信息領域，例如機器人的控制，分數階傅立葉變換，盲源信號處理等領域。
結題摘要
摘要：信息幾何就是利用黎曼幾何的方法來研究信息領域裡的問題的科學。S. Amari提出了信息幾何的概念，他的研究論文已經被引用了超過2萬餘篇。由於信息幾何在統計推斷、神經網路、信號處理、控制理論等領域的成功套用，使得它受到越來越多的關注。本項目著眼於李群上的信息幾何結構及其套用。經過幾年的努力，獲得一系列研究成果，為後續的研究奠定了基礎。我們的主要成果包括： 1、利用建立在標架叢上的和樂群這種李群對統計流形進行了分類；利用標架叢計算了常態分配流形的曲率，克服了通常在底空間上進行的複雜運算；根據S. Amari在統計流形上定義的李群結構的定義，我們給出了具體計算黎曼度量和聯絡形式的公式，同時我們推廣相應的結論，給出了一些例子。 2、我們在一般線性群的子流形--正定矩陣流形上定義黎曼度量，使之成為連通的、完備的黎曼流形。我們把這種思想用於解決線性系統的穩定性和最優控制的研究，獲得了求解Lyapunov方程和代數Riccati方程的求解算法，這些算法比以往的算法收斂速度快。 同時，我們利用廣義Hamilton方法給出了求解Lyapunov方程和代數Riccati方程的求解算法, 該方法的優點在於在某些條件下避免了陷於局部最小的缺陷。 3、我們研究了在機器人控制以及物理上具有重要套用的特殊歐幾里德群以及海森堡群，獲得了計算它們的幾何平均的計算公式。 4、利用建立在特殊線性群上的線性正則變換理論，研究圖像水印問題。我們在研究圖像水印時參數的選擇多了靈活性，適當的參數選擇使得圖像水印比已有的方法效果更好。 5、完成了專著《信息幾何導引》，系統地介紹了信息幾何的基本內容。 6、發表（包括接受待發表）論著 學術論文25篇，其中SCI檢索18篇，EI檢索5篇。完成專著1部。
