李亞普諾夫特徵指數(Liapunov characteristicexponent)是微分動力系統遍歷論的一個重要概念。
基本介紹
- 中文名：李亞普諾夫特徵指數
- 外文名：Liapunov characteristicexponent
在微分動力系統遍歷論的研究中，對流形上微分同胚導出的切空間上的線性變換的漸近行為的研究有助於了解流形上非線性變換的漸近行為.1965年，奧謝列傑茨((OceneAeR, B. II. ) )證明了廣泛被人們採用的乘法遍歷定理並由此將李亞普諾夫特徵指數的概念引人微分動力系統.事實上，早在1963年，廖山濤已證明了正規標架叢上的乘法遍歷定理(它蘊涵狀態流形上的一般形式的乘法遍歷定理)，並引人李亞普諾夫特徵指數的概念.對。ET,M,xEM，稱之為T在二點的一個李亞普諾夫特徵指數，此處，M為緊緻C一黎曼流形，T E C' (M, M).奧謝列傑茨的乘法遍歷定理解決了其存在性問題.這一概念刻畫了切向量在T的切映射作用下的指數變化率，在微分動力系統遍歷論中起著十分重要的作用.關於李亞普諾夫特徵指數研究的最著名的結果是柏森理論.柏森理論用關於李亞普諾夫特徵指數的條件來代替微分動力系統中的雙曲條件，將雙曲動力系統的幾何結果的很大一部分推廣到任意可微系統，其中典型的結果如柏森(Pesin, Ya. B.)的穩定流形理論.此理論的另一個著名結果是柏森墒公式.從某種程度上說，李亞普諾夫指數也反映了流形上無窮小體積元在流形映射作用下的變化規律，而嫡亦與體積變化密切相關，因此，可以預測二者是有一定關係的.柏森嫡公式建立了二者之間的確切關係.定理(柏森嫡公式):設M為緊緻C一黎曼流形，T:M-＞ M為Cz微分同胚,E.(M,T).若產相對M的勒貝格測度絕對連續，這是呂埃爾(Rue11e,D.)首先得到的，稱之為呂埃爾不等式.最後指出，`'' (x)雖然是二的可測函式，但一般是不連續的.
