本質擴張閉(closed under essential extensions)是對環類的一種附加性質，一個環類K若具有下述性質：對任意環A，A有一個本質理想I(即對A的任意非零理想J，I∩J≠0)是K中的環⇒A本身也是K中的環，則稱K為本質擴張閉。遺傳根的半單類是本質擴張閉的。
基本介紹
- 中文名：本質擴張閉
- 外文名：closed under essential extensions
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：環與代數(根論)
- 相關概念：遺傳根、超冪零根、本質理想等
相關概念,遺傳根,超冪零根,弱特殊類,特殊類,本質閉包,根群類和半單群類,
相關概念
遺傳根
是對理想也保持的一種根性質。設R是一個根性質，若R根環的每個理想作為一個環仍是R根環，即根類R是一個對理想的遺傳類，則稱根性質R是一個遺傳根(hereditary radical)，根性質R是遺傳根的一個充分必要條件是，對任一環A的任一理想B，均有R(B)=B∩R(A)。遺傳根的半單類是本質擴張閉的，即，若一個環在這個根性質下有一個本質理想是半單環，則這個環本身也是半單環。反之，若一個根性質的半單類是本質擴張閉的，則這個根性質是遺傳的。
超冪零根
超冪零根(supernilpotent radical)是一類重要的根性質。一種根性質R，若適合下述條件：R是遺傳的，每個冪零環都是R根環，則稱R為超冪零根。超冪零根的半單類是本質擴張閉的，並且半單類中每個環都是半素環，即不含非零的冪零理想的環。
弱特殊類
弱特殊類(weakly special class)是以超冪零根為半單類的重要環類，環類K稱為弱特殊類，若K滿足下述條件：
1.K中環都是半素環。
2.K是遺傳的，即K中環的理想作為一個環仍是K中的環。
3.K是本質擴張閉的，即若環A有一個本質理想是K中的環，即環A本身也是K中的環。
弱特殊類的重要性在於超冪零根的半單類是弱特殊類，而弱特殊類確定的高根是超冪零根。有這種高根性質的半單環，都可表示為這個弱特殊類中環的亞直和。
特殊類
特殊類(special class)指一般根論中與特殊根相關連的一類重要的環類。滿足下述條件的環類K稱為特殊類：
1.K中環都是素環。
2.K是遺傳的。
3.K是本質擴張閉的。
每個特殊類都是一個弱特殊類，因此由特殊類確定的高根是超冪零根。特殊類概念的建立，是為了引入特殊根的概念，以概括環結構理論中給出的各種具體的根性質。
本質閉包
本質閉包(essential closure)是一類特殊的本質擴張，設G是阿基米德格序群，若G沒有真阿基米德本質擴張，則G稱為本質閉的。阿氏格序群的本質閉的本質擴張，稱為它的一個本質閉包。康萊德(P.Conrad)於1971年證明，每個阿氏格序群均存在惟一的本質閉包。
根群類和半單群類
定理1若 P 是一個根群類，它對應的半單群類為L ，則P是遺傳的若且唯若L 是本質擴張閉的。
非平凡群G的正規子群N 稱為G的本質正規子群，如果對G的所有非平凡正規子群H有H ∩ N ≠{e}。易知， G 本身是 G 的一個本質正規子群。群類K是本質擴張閉的(closed under essential extension)，如果群G中存在本質正規子群N∈K，那么G∈K。
定理2若P是一個根群類，對應的半單群類為L，則P是遺傳的若且唯若L是本質擴張閉的 。
推論 當根群類P是遺傳根群類時，根群類P和其對應的半單群類L所決定的群類M是根群類。
