本構關係

反映物質巨觀性質的數學模型。最熟知的反映純力學性質的本構關係有胡克定律、牛頓內摩擦定律(牛頓粘性定律)、聖維南理想塑性定律等；反映熱力學性質的有克拉珀龍理想氣體狀態方程、傅立葉熱傳導方程等。把本構關係寫成具體的數學表達形式就是本構方程。在許多文獻中，往往都不把本構關係和本構方程區別開來。建立本構方程是理性力學研究的重要內容之一。

簡介

本構關係，即應力張量與應變張量的關係。一般地，指將描述連續介質變形的參量與描述內力的參量聯繫起來的一組關係式。具體地講，指將變形的應變張量與應力張量聯繫起來的一組關係式，又稱本構方程。對於不同的物質，在不同的變形條件下有不同的本構關係，也稱為不同的本構模型，它是結構或者材料的巨觀力學性能的綜合反映。廣義上說，就是廣義力-變形（F-D）全曲線，或者說是強度-變形規律。

一定要從“巨觀角度”來理解“本構關係”。因為各種材料或者構件或者結構，它在各種受力階段的性能可有許多不同的具體反應，但是若繪製出它的廣義力-變形（F-D）全曲線，則各種不同反應的現象在曲線上都會有相類似和相對應的幾何特徵點，即在巨觀上是一致的。從“巨觀角度”出發看問題也是一種不錯的學習和看問題的思路，在我們的研究和工程實踐中都大有用途。

（1）本構關係有材料層次、構件截面層次、構件層次、結構層次等幾個層次，本構關係多是構件層次上的，對於結構層次的本構關係，研究較少，不過這會是以後的研究方向。

（2）另外，工程上常見的也多是一維本構，其經驗模型已基本定型，而多維本構方面的強度準則的經驗模型還有待進一步完善，多維本構也是是以後的發展趨勢。

（3）本構關係多是不考慮時間的影響的靜本構關係，也發展到考慮短時間內影響的（譬如地震作用下幾十秒內）動本構關係，其發展方向會是：即時（隨時間發生變化的）本構關係。

（4）本構關係近年來有向邏輯發展的趨勢，其詞義隨著套用，逐漸產生了引申意思，目前有幾種引申意思，比如一種是事物發展的本體導致事物發展的終結，其本體和終結直接的直接或間接的必然聯繫，其發展方向會是：因果（上升到哲學概念的）本構關係。

為確定物體在外部因素作用下的回響，除必須知道反映質量守恆、動量平衡、動量矩平衡、能量守恆等自然界普遍規律的基本方程外，還須知道描述構成物體的物質屬性所特有的本構方程，才能在數學上得到封閉的方程組，並在一定的初始條件和邊界條件下把問題解決。因此，無論就物理或數學而言，刻畫物質性質的本構關係是必不可少的。

本構公理

在建立物質的本構關係時，為了保證理論的正確性，必須遵循一定的公理，即所謂本構公理。例如，關於純力學物質理論的本構公理有：

①確定性公理　即物體中的物質點在每一時刻的應力完全由組成物體的全部物質點運動的全部歷史唯一地確定。

②局部作用公理　即假定離開物質點 X有限距離的其他物質點的運動與X上的應力無關。

③客觀性公理　即物質的性質不隨觀察者的變化而變化，或者說，本構關係對於剛性運動的參考標架（或參考系）具有不變性。

此外，還有坐標不變性公理，即本構關係應與坐標系無關。但若採用張量記法或抽象記法，這個公理就自然滿足。由於連續介質力學都採用張量記法，所以一般只提到上述三個本構公理。若考慮更複雜的情況，需要更多的本構公理的限制。對於熱力物質(見熱力物質理論)除了上述三個公理外，還應服從因果關係、確定性、等存在、物質不變性、記憶和相容性等公理。每個本構方程定義一種理想物質，也就是說，每種理想物質都有自己的本構方程。

在實際工程問題中，影響本構關係的因素有很多，比如：材料本身的組成和特性；受力狀態，包括拉壓剪扭彎等；荷載重複加卸作用；荷載長期持續作用和溫度等。

舉例

胡克彈性固體的本構方程可表示為應力張量T_ij 和應變張量E_kl 之間呈線性關係：

T_ij=C_ijklE_kl ，

式中 C_ijkl稱為彈性常數張量。上式常稱為廣義胡克定律。對於各向同性的彈性固體，本構方程為：

T_ij=λδ_ijE_kk+2μE_ij，

式中λ和μ為拉梅常數；δ_ij為克羅內克符號（見張量）。牛頓粘性流體的本構方程可表述為應力張量T_ij和變形速率張量D_kl之間呈線性關係：

T_ij=K_ijklD_kl，

式中K_ijkl稱為粘性係數張量。 對於各向同性均勻牛頓流體，本構方程具有下列形式：

T_ij= -pδ_ij+λδ_ijD_kk+2μD_ij，

式中p為壓力；λ和μ為粘性係數。

結合理論研究和實驗結果已對不少物質給出具體的本構方程。根據所研究的物質性質，本構方程可有各種不同形式。上述應力－應變關係和應力－變形速率關係是比較簡單的本構方程，還可有應力率－應變率形式的以及具有積分形式的本構方程。一般地把具有積分形式的本構方程的物質稱為積分型物質，例如有限線性粘彈性物質；而把應力化為應變張量和里夫林－埃里克森張量的函式的物質稱為微分型物質，例如里夫林－埃里克森物質（見純力學物質理論）。

理性力學除對本構關係進行極為一般的研究外，還對彈性物質、粘性物質、塑性物質、粘彈性物質、粘塑性物質、彈塑性物質以及熱和力耦合、電磁和力耦合、熱和力以及電磁耦合等物質的本構方程進行具體研究。

在對本構關係深入研究的基礎上，理性力學提出了一些新的理想物質，有的甚至發展成為譜系，如簡單物質譜系（見純力學物質理論），而且還提出了對整類物質進行描述和分析的有效方法。