《有限域上指數和與量子碼的研究》是依託華中師範大學，由羅金權擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：有限域上指數和與量子碼的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：羅金權
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
有限域上的指數和是數論和信息科學中的重要研究對象。CDMA和OFDM通信系統以及流密碼中需要自相關和互相關值較小的周期序列，這相當於對應的指數和的絕對值較小。我們試圖研究那些有明顯表達式的指數和；從而決定相應的周期序列的相關分布，構造具有較小自相關和互相關值的周期序列族。另外，我們可以決定相應的循環碼的權分布。 同時，我們嘗試構造新的bent函式或者高非線性度的函式。 量子碼為量子計算的實現提供了可靠的保障。量子MDS碼是指達到量子Singleton界的量子碼。本項目致力於構造新的量子MDS碼，所用的主要工具主要為有限域上滿足厄爾米特自正交條件的廣義Reed Solomn碼。另外，我們試圖改進量子碼的某些界，例如量子TVZ界。
結題摘要
本項目中我們研究了以下幾個問題： 1. 幾類有限域上的指數和，序列相關分布及循環碼和線性碼的權分布。這幾類循環碼和線性碼的權重可以表示成指數和的形式。我們把有限域上的半二次型表示成二次型的組合形式，從而給出這些碼的權表達式。再利用數論和組合等工具，給出了這些循環碼和線性碼的權分布。其中有些碼的參數可以達到線性碼的Griesmer階。在此意義下，這些碼是最優的。同時，利用這些指數和我們可以構造序列族，這些序列族的參數可以漸進達到Welch界。 2.我們構造了幾類自對偶MDS碼和厄爾米特自正交MDS碼，主要的工具是利用奇特徵有限域上的(擴展)廣義里德-所羅門碼。與以前的構造相比，在固定的字母集的前提下，我們的構造的自對偶MDS碼數量更多，具有更多可變的參數。厄爾米特自正交MDS碼可以用來構造量子MDS碼。 在我們的構造中，一些量子MDS碼的極小距離超過碼長的一半。 3. 我們給出了一類新的完全非線性函式，這些函式定義在特徵為奇素數的有限域上。 另外，我們證明了這些函式與已有的完全非線性函式都是CCZ-不等價的。同時，我們證明了對應的交換半域和已有的交換半域都是非迷向的。
