有序樣品聚類法

有序樣品聚類法是聚類分析的方法之一。在通常的聚類分析中樣品之間彼此是平等的，聚類時是將樣品混在一起按照距離或相似係數的標準來進行分類， 但是有些客觀現象在聚類時不能打亂原來樣品的排列順序。例如要對兒童生長發育的規律劃分成幾個階段， 或對我國解放以後經濟的發展速度劃分成幾個階段， 同一個階段的樣品要求是互相連線的，也就是說聚類時要求必須是次序相鄰的樣品才能在一類。這種聚類的方法稱作有序樣品聚類法。

基本介紹

• 中文名：有序樣品聚類法
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：統計學（多元統計分析）
• 屬性：聚類分析的方法之一
• 別名：最優分割法

有序樣品聚類法的概念

系統聚類法，被分類的樣品是相互獨立的，分類時彼此是平等的。而有序樣品分類法要求樣品按一定的順序排列，分類時是不能打亂次序的，即同一類樣品必須是互相鄰接的。比如要將新中國成立以來國民收入的情況劃分為幾個階段，此階段的劃分必須依年份的順序為依據，又如研究天氣演變的歷史時，樣品是按從古到今的年代排列的，年代的次序也是不能打亂的。

如果用表示n個有序的樣品，則每一類必須是這樣的形式：，其中，且，即同一類樣品必須是相互鄰接的。研究這樣分類問題稱為有序樣品的聚類法，該方法是由Fisher在1958年提出的。

有序樣品的分類實質上是找一些分點，將有序樣品劃分為幾個分段，每個分段看作一個類，所以分類也稱為分割。顯然分點取在不同的位置就可以得到不同的分割。通常尋找最好分割的一個依據就是使各段內部樣品之間的差異最小，而各段樣品之間的差異較大，所以有序樣品聚類法又稱為最優分割法。

最優分割法的計算步驟

設有序樣品依次為，(為p維向量)

(1)定義類的直徑

設某一類G包含的樣品有，記

用表示這一類的直徑，常用的直徑有：

當p=1時，有時用直徑為：

其中，是這一類數據的中位數。

(2)定義分類的損失函式(或稱目標函式、誤差函式等)

用b(n，k)表示將n個有序樣品分為k類的某一種分法，常記分法b(n，k)為：或簡記為：

其中分點為：即。

定義這種分類法的損失函式為：

當n，k固定時，越小表示各類的離差平方和越小，分類是合理的。因此要尋找一種分法b(n，k)，使分類損失函式L達最小，記P(n，k)是使達極小的分類法。

(3)的遞推公式

Fisher算法最核心的部分是利用以下兩個遞推公式：

以上兩公式由定義即可證明。其中第二式表示，若要找將n個樣品分為k類的最優分割，應建立在將個樣品分為k-1類的最優分割基礎上(這裡)。

(4)最優解求法

若分類數k(1<k<n)，求分類法p(n，k)使它在損失函式意義下達最小，其求法如下：

首先，找分點使達最小，於是得第k類，然後，找，使它滿足，得到第k-1類，類似的方法依次可得到所有類，這就是所求的最優解，即。

總之，最優分割法分類的依據是離差平方和，而算法的核心部分是兩個遞推公式。