最概然分布

在指定N、U、V 條件下,微觀狀態數最大的分布出現的機率最大,該種分布即稱為最概然分布.

基本介紹

• 中文名：最概然分布
• 外文名：most probable distribution
• 又名：最可幾分布
• 類別：數學現象
• 原理：等機率原理
• 學科：數學

解釋

系統中微觀粒子一般具有一系列離散的能量，記這些能量為ε1，ε2，……，εn，……，相應能量的粒子數目記為a1，a2，……，an，……={an}。數列{an}即為一個分布。不同時刻，分布是變化的。

粒子分布圖

這些處於相同能量的粒子還可能具有不同的其他微觀物理量，比如同具有動能ε的一維自由粒子動量具有兩個相反的方向。這時，能量是簡併的，而動量是非簡併的。記每個能量下細化到非簡併時的狀態數目分別為k1，k2，……，kn，……={kn} ，稱每一個k是該能量的簡併度。上述例子相應的能量簡併度為2。

某一個分布下的微觀狀態數，即該分布下系統所有可能出現的微觀狀態的總數（微觀狀態概念參見等機率原理或被詞條附圖），用符號Ω標記。對於每一個分布（見上文），它只規定了每種能量下的粒子數，而許多微觀狀態都滿足這種分布。這些微觀狀態也是隨時間不停發生變化。一種分布下的全部可能的微觀狀態數目是可以被計算出來的。這種一對多的關係來源於能量的簡併（見上文），可分辨和不可分辨全同粒子的特性和泡利不相容原理等等。

根據等機率原理，各個分布下的所有的微觀狀態出現的機率都一樣，因此，分布包含的可能微觀狀態數目Ω越多時，該分布出現的機率就越大。最大的Ω對應機率最大的分布，該分布稱為最概然分布

對於一個系統，微觀粒子每時每刻都在變化，各種分布都會出現，但它們出現的機率不同（如上文所述，原因被抽象為該分布下微觀狀態數不同），物理學用出現機率最大的一個分布（最概然分布）來代替當前系統微觀粒子的分布，而忽略其他分布出現的可能。這種處理是合理的，因為計算表明，當粒子數足夠大時，最概然分布出現的機率遠遠高於其他分布出現的機率。

關係

分布與微觀狀態數Ω有關，而Ω又與{an}和{kn}有關。而最概然{an}又和系統總能量，系統粒子總數，{kn}和{εn}有關，所以巨觀和微觀在數學上就被聯繫起來，進而可以討論它們在物理上的聯繫。

著名的麥柯斯韋-波爾茲曼分布，是在最概然分布的物理意義下產生的，它只是眾多分布中的一個極大值。這之後出現的費米-狄拉克分布和玻色-愛因斯坦分布也是一個最概然分布，無論是用經典方法還是系綜理論，都離不開最後這步處理。這三個分布的區別在於各自的微觀狀態數的表達式不同，因為描述這三種分布下粒子的限定條件不同。

示例

不同的M 值代表了不同的分布,因此,M 是一個指明系統分布的特徵參數。又因A 和B 是同一能
級的兩個簡併量子態,因此,所有微觀狀態有相同的能量,他們都服從等機率原理。

在這個平衡系統中,最概然分布出現的機率與子數N 的平方根成反比。這就是說,隨著N 增大,最概然分布出現的機率反而減小。當N抑1024 時,Pmax 抑10-12,這是一個很小的機率。那么,為什麼還說最概然分布可以代表熱力學系統的平衡分布呢? 圖2 是不同N 時的平衡分布及最概然分布圖[2] 。為清楚地顯示大數,圖2 中的縱坐標和橫坐標都用相對值表示,前者為棕(M) / 棕max ,後者為M / N,其中M / N = 0. 5 的虛線所示即為最概然分布。
由圖2 可見,隨著N 增大,分布曲線變得越來越窄,換句話說,平衡分布越來越接近最概然分布。

最概然分布