在Q過程的存在性和惟一性問題的研究中，南斯拉夫一美國數學家費勒(Feller, W.F.)於1940年首先通過構造一個最小Q過程，解決了是否存在對應於給定Q矩陣的Q過程的問題.美國數學家杜布(Doob , J. L.)於1945年在討論Q過程的惟一性問題時證明了:若給定的Q矩陣保守，則或者對應無窮多個Q過程，或者對應惟一的Q過程—最小Q過程.當給定了一個Q矩陣(q>>)時，可以構想用如下方法產生對應於這Q矩陣的(從任一狀態出發的)最小Q過程.令
最小Q過程
這裡q，-一qi，.過程相繼的狀態轉移是這樣確定的:當它到達狀態i後，在i的逗留時間有參數為q、的指數分布，而且各次逗留時間是相互獨立的.當過程離開狀態i轉移到別的狀態時，它轉移到狀態J的機率是r11(為確定起見，假設樣本函式是右連續的)，因為可能以正機率出現樣本函式不是對所有的t)0都確定的情形，這時可以通過添加一個吸收狀態a把相空間E擴充為E=E U {a}.當樣本函式不確定時令它取值a，此後它就一直逗留在這一狀態.人們把這樣的具有擴充相空間它的過程在到達狀態a前的那一部分稱為最小Q過程。
