最小數原理

基本介紹

集合理論的重要性在於它的方法論意義，我們知道，有些數學問題所涉及的各個元素的地位是不均衡的，其中的某個極端元素往往具有優於其他元素的特殊性質，能為解題提供方便，而利用這種極端性的依據之一就是有關集合的一條簡單性質。

最小數原理I 設M是自然數集的一個非空子集，則M中必有最小數。

最小數原理Ⅱ設M是實數集的一個有限的非空子集，則M中必有最小數。

推論設M是實數集的一個有限的非空子集，則M中必有最大數。

用最小數原理解決存在性問題

由於最小數原理實際上是一個存在性定理，因而與證明大量存在性問題有著密切的關係，運用最小數原理處理存在性問題的關鍵首先是構造滿足某種性質的數集M，然後利用M中的最小數證明命題。

【例1】設S為整數的非空集，滿足：

（1）如果

那么

（2）如果

那么

，

求證：在S中存在一個整數d，使得S由d的所有倍數組成。

證明：若S={0}，則命題顯然成立。

若S≠{0}，設S⁺為S中所有正數組成的集合，則S⁺≠∅(這是因為，S非空，存在非零c∈S，由條件(1)知，0=c-c∈S，-c=0-c∈S，在c，-c中至少有一個為正)。從而S⁺中有最小數，記為d，由(2)，nd∈S(n∈Z)，即{nd|n∈Z}

S。

另一方面，對任意的h∈S有h=nd+r，0≤r<d，由(1)知，r=h-nd∈S，再由d是屬於S的最小正整數，故只可能r=0，即h=nd．所以S

{nd|n∈Z}。

所以S={nd|n∈Z}，命題成立。

【例2】若干人聚會，其中某些人彼此認識．已知，如果某兩人在聚會者中有相同數目的熟人，則他倆便沒有共同的熟人。證明：若聚會者中有人至少有20個熟人，則必然也有人恰好有20個熟人。

證明： 我們考慮聚會者中熟人最多的某個人(若這樣的人不止一個，則任取其中一個)，記為A，設A共認識n個人，這些人設為

顯然n≥20。

由於

中任意兩人

與

都認識A，即A是他倆的共同熟人，由已知可知

與

的熟人數目不等，又

的熟人數目均不超過n，且至少有1個熟人，於是他們的熟人數目恰好為1，2，…，n．

由於n≥20，故數20在上述數列中出現，於是

中有人恰好有20個熟人。