無限遞降法(method of infinite descent)亦稱費馬遞降法，是17世紀法國數學家費馬首先提出並加以利用的。據考證，他可能曾用此法發現了許多數學事實，數理邏輯產生以後，這種方法作為一個定理被包括其中。無限遞降法常被用於證明某些否定性命題，是數學中的一種很有用的方法。
基本介紹
- 中文名：無限遞降法
- 外文名：method of infinite descent
- 別稱：費馬遞降法
- 提出者：費馬(P.deFermat)
- 簡介：證明與正整數有關的命題的方法
基本介紹,費爾馬無限遞降法的歷史,無限遞降法與數學歸納法的關係,
基本介紹
無限遞降法是費馬(P.deFermat)創立的專門證明與正整數有關的命題的方法，此法常用於確立否定的結論。這種證明方法的邏輯步驟如下：如果要否定某個與正整數有關的命題P(n)，那么：
1.先假定命題P(n)對若干特定的正整數集合n為真，在集合n中必有較小的正整數n′<n存在。
2.從假定P(n)為真出發，由n′<n推證出P(n′)為真；在集合n′中，又必有較小的正整數n″<n′存在，使由P(n′)為真再推出P(n″)為真，於是可以無限地推下去，這和正整數不能無限減小相矛盾，所以，開始時對P(n)為真的假設是錯誤的。
由於費馬生前很少發表文章，他的許多數學論斷都是從一些片斷中得到的，甚至有些是在他逝世後別人從他在丟番圖(Diophantus)《算術》書的頁邊評註中整理出來的，費馬遞降法的面世就更晚了，它是費馬逝世兩百多年後的1879年，在荷蘭的萊頓圖書館的惠更斯(C.Huygens)數學手稿的一篇論文中詳述了費馬的無限遞降法。此後，這種證明方法才引起數學家們的重視和套用。
費爾馬無限遞降法的歷史
這一方法是費馬首創和套用的。1659年費爾馬把這一方法的梗概寫信告訴了他的朋友卡卡維。1640年12月25日費爾馬在給梅爾塞尼的信中，又用此法證明了他自己所提出的一個定理:形如4n+1的一個質數可能且只能以一種方式表達為兩個平方數之和。
費爾馬在致卡卡維的信中還利用此方法證明了費爾馬大定理n=4時的情形。但只是少量的提示，並無詳細過程。後來根據他的提示費雷尼克任他的著作《論直自三角形的數字性質》中給出了一個詳細證明，給出時間大約是1676年，我們現在了解到的費爾馬無限遞降法是1879年在已故的惠更斯的手稿中發現的。
無限遞降法與數學歸納法的關係
1°1∈M；
2°若x∈M，則x+1∈M，
則M =N。
這條公理稱為歸納原理，數學歸納法正是基於這一原理。
無限遞降法是基於自然數的另一條重要性質：最小數原理。
最小數原理 自然數集N的每個非空子集A中一定有最小數。
證明 A是非空的，一定存在一個自然數m∈A於是m將A分成二個子集:
B1={ala≤m，對一切a∈A}；
B2={a[a>m，對一切a∈A}
顯然A= B1UB2，B1∩B2=Φ，且對任意b1∈B1和b2∈B2有b1<b2... (1)
注意: B一定是非空的。∵m∈B1。由於{1、2、m..} 是有限集，B1是它的子集，∴B1也有限集。當然存在一個最小數a1，由(1)式可知a也是A中的最小數。
最小數原理與數學歸納原理是等價的。
無限遞降法與數學歸納法的區別是：
(1)基於不同的原理。
(2)前者無須驗證對某--特殊值命題是否成立，而後者必須驗證。
(3)前者用於否定某些論斷，而後者用於肯定某些論斷。
(4)前者在對一個n值作了適當的假定後，只須驗證還有一個比n小但並非次小的n'也使假定成立，而後者在對某一 n值作了適當假定後，必須證明n+1次大的也使假定成立。
