施泰納系

施泰納系

施泰納系(Steiner system)是一類組合構形,即λ=1的t設計,記為S(t,k,v)。一個S(2,3,v)稱為施泰納三元系,記為STS(v),一個S(3,4,v)稱為施泰納四元系,記為SQS(v),STS(v)存在的充分必要條件是v≡1,3(mod 6),哈拿匿(H.Hanani)於1960年證明:SQS(v)存在的充分必要條件是v≡2,4(mod 6),當t=4或5時,僅知一些零星的施泰納系,其中一些與馬修群有關(參見“馬修設計”),當t≥6時,尚不清楚是否有這樣的施泰納系存在。

基本介紹

  • 中文名:施泰納系
  • 外文名:Steiner system
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:組合學(組合設計理論)
  • 簡介:λ=1的t設計,記為S(t,k,v)
基本介紹,相關概念,施泰納三元系,馬修設計,

基本介紹

設(X,B)為一正則設計,其中|X|=v,區組大小為k,若X的任一t元子集恰含於B的λ個區組之中,則稱(X,B)為t-(v,k,λ)設計,簡稱t設計。
(i)λ=1,t-(v,k,1)設計常叫做Steiner系,並記作S(t,k,v)。
(ii)Sλ(2,3,v)叫三元系,特別,S(2,3,v)叫Steiner三元系,記作STS(v)。
(iii)Sλ(3,4,v)叫四元系(quadruple system),特別,S(3,4,v)叫做Steiner四元系,記作SQS(v)。
例1
B:{0,1,2,4},{1,2,3,5},{2,3,4,6},{3,4,5,0},
{4,5,6,1},{5,6,0,2},{6,0,1,3},
{0,1,5,∞},{1,2,6,∞},{2,3,0,∞},{3,4,1,∞},
{4,5,2,∞},{5,6,3,∞},{6,0,4,∞}.
這是一個8階Steiner四元系SQS(8),如果取包含∞的7個區組並將∞去掉。則得到Z7上的一個STS(7)。
稍作仔細觀察,不難看出,(V,B)也是一個1-(8,4,7)設計,且這種情況並非偶然。

相關概念

施泰納三元系

施泰納三元系(斯坦納三元系)是滿足
平衡不完全區組設計),斯坦納三元系(施泰納三元系)記為
。柯克曼15名女學生問題是斯坦納三元系中一個
的問題。瑞士數學家斯坦納( Steiner)在1853年研究四次曲線的二重切線時遇到的
區組設計,其在數字通訊理論、快速變換、有限幾何等領域有非常重要的作用。
我國學者陸家羲(1935-1983)經過多年研究,編寫了《不相交的斯坦納三元系大集》等七篇論文,解決了國際上斯坦納三元系理論多年未解決的難題。
定理1滿足
的必要條件為
由定理1知,滿足
的BIBD的有
時,有
,有
由於b是整數,那么,
可取
,但
時,
不是整數。所以,

馬修設計

馬修設計是與馬修群有關的幾個施泰納系,若G是v元集X上的一個t可遷置換群,Δ是X的一個k元子集,G將X的全體k元子集劃分成一些區組軌道,則含Δ的區組軌道形成一個t-(v,k,λ)設計,若以GΔ記Δ的集穩定子群,則軌道大小為|G|/|GΔ|,由此可計算參數λ,已知兩個5可遷的馬修群M12及M24,兩個4可遷的馬修群M11及M23,與之有關的還有一個3可遷的馬修群M22,適當選取區組軌道,可以從這些t可遷群得到一些施泰納系S(5,8,24),S(5,6,12),S(4,7,23),S(4,5,11),以及S(3,6,22),稱這幾個設計為馬修設計,這些設計在同構意義下還是惟一的。

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