施圖姆-劉維爾問題,即施圖姆-劉維爾理論,在數學及其套用中,以雅克·夏爾·弗朗索瓦·施圖姆(1803–1855)和約瑟夫·劉維爾(1809–1882)的名字命名,具體定義見正文。
基本介紹
- 中文名:施圖姆-劉維爾問題
- 外文名:Sturm–Liouville theory
- 別稱:施圖姆-劉維爾理論
簡介,一些函式的施圖姆-劉維爾形式,貝塞爾方程,勒讓德方程,使用積分因子的例子,一般形式二階常微分方程的積分因子,
簡介
在數學及其套用中,以雅克·夏爾·弗朗索瓦·施圖姆(1803–1855)和約瑟夫·劉維爾(1809–1882)的名字命名的施圖姆-劉維爾方程是指二階線性實微分方程:



在一個正則的施圖姆-劉維爾(S-L)本徵值問題中,在有界閉區間[a,b]上,三個係數函式{\displaystyle p(x),w(x),q(x)}應滿足以下性質:




只有一些恰當的
能夠使得方程擁有滿足上述條件的非平凡解(非零解)。這些
稱為方程的本徵值,對應的非平凡解稱為本徵函式,而本徵函式的集合則稱為本徵函式族。施、劉二人在一些由邊界條件確定的函式空間中,引入埃爾米特運算元,形成了施圖姆-劉維爾理論。這個理論提出了本徵值的存在性和漸近性,以及本徵函式族的正交完備性。這個理論在套用數學中十分重要,尤其是在使用分離變數法求解偏微分方程的時候。


施圖姆-劉維爾理論提出:施圖姆-劉維爾本徵值問題,存在無限多個實數本徵值,而且可以排序為:





已歸一化的本徵函式族在希爾伯特空間
上有正交性和完備性,形成一組正交基:

一些函式的施圖姆-劉維爾形式
只要乘以一個恰當的積分因子,所有二階常微分方程都可以寫成施圖姆-劉維爾形式。
貝塞爾方程


勒讓德方程


使用積分因子的例子






一般形式二階常微分方程的積分因子



