斯泰納-萊默斯定理

過三角形外接圓上異於三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。而斯泰納-萊默斯定理的內容即為三角形ABC垂心（三角形三邊上的高的交點叫做垂心）為H，共外接圓上任意一點P，則三角形ABC關於P點的西姆松線過線段PH的中點。

基本介紹

• 中文名：斯泰納-萊默斯定理
• 套用學科：平面幾何

定理內容

設三角形ABC垂心（三角形三邊上的高的交點叫做垂心）為H，共外接圓上任意一點P，則三角形ABC關於P點的西姆松線過線段PH的中點。

證明方法

如圖，△ABC外接圓上有一點P，作△ABC關於點P的西姆松線（即圖中紅線）。連線CH交AB於M，交外接圓於N。連線PN交AB於L，交西姆松線於K，連線AH，AN，PB。延長AH交CB於J。

∵CH⊥AB PF⊥AB

∴∠1=∠2

∵∠BFP=∠BEP

∴B、F、E、P共圓

∴∠4=∠3=∠1=∠2

又∵∠PLF=90°

∴KF=KP=KL

∵∠AMC=∠AJC

證明圖

∴P、M、C、J共圓

∴∠5=∠10=∠6

∴△ANM≌△AHM

∴MN=MH

∴AL為NH中垂線

∴∠7=∠1=∠4

又∵∠7+∠8=90°=∠4+∠9

∴∠8=∠9

∴HL∥TK

∴

∴PT=PH,命題得證