基本介紹
- 中文名：斯坦納—雷姆斯定理
- 類型：數學定理
- 證法：60多種證法
- 發表者：斯坦納
表述,證明方法,後世發展,
表述
這一命題的逆命題“等腰三角形兩底角的平分線長相等”早在二千多年前歐幾里得的《幾何原本》中就已作為定理，證明是很容易的。但上述原命題在《幾何原本》中卻是隻字未提，一直直到1840年，雷姆斯（C.L.Lehmus）在他給斯圖姆（C.Sturm）的信中提出請求給出一個純幾何證明。但斯圖姆未能解決，就向許多數學家提出這一問題。首先給出證明的是瑞士幾何學家斯坦納（J.Steiner,1796—1863），因而這一定理就稱為斯坦納-雷姆斯定理。
證明方法
如圖，已知△ABC中，兩內角的平分線BD=CE。求證：AB=AC。
證法①：（斯坦納原證) 如圖1，假設AB>AC．
則∠BEC>∠BDC (1)
在△BCE與△CBD中，∵BD=CE，
BC公共，∠BCE>∠CBD，
∴BE>CD．
作平行四邊形BDCF，連線EF．
∵BE>CD=BF．∴∠1<∠2．
∵CE=BD=CF ．∴∠3=∠4．
∴∠BEC<∠BFC=∠BDC (2)
(1)與(2)矛盾．∴AB≯AC．
同理AC≯AB．故 AB=AC．
則∠BEC>∠BDC (1)
在△BCE與△CBD中，∵BD=CE，
BC公共，∠BCE>∠CBD，
∴BE>CD．
作平行四邊形BDCF，連線EF．
∵BE>CD=BF．∴∠1<∠2．
∵CE=BD=CF ．∴∠3=∠4．
∴∠BEC<∠BFC=∠BDC (2)
(1)與(2)矛盾．∴AB≯AC．
同理AC≯AB．故 AB=AC．
證法②：(海塞證法，德國數學家（L.O.Hesse,1811-1874）)
作∠BDF=∠BCE;並使DF=BC
∵BD=EC，
∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.設∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，
示意圖
示意圖∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180°-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CDF，
∵2α+2β<180°,
∴α+β<90°，
∴∠FBC=∠CDF>90°
∴過C點作FB的垂線和過F點作CD的垂線必都在FB和CD的延長線上.
設垂足分別為G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=FD
連線CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC.
證法③
設二角的一半分別為α、β
sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,
∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0
→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0
→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0
→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0
，∴sin[(α-β)/2]=0
∴α=β,∴AB=AC.
證法④
用張角定理：
2cosα/BE=1/BC+1/AB
2cosβ/CD=1/BC+1/AC
若α>β 可推出AB>AC矛盾！
若α<β 可推出AB <AC矛盾！
所以AB=AC
後世發展
斯坦納的證明發表後，引起了數學界極大反響。論證這個定理的文章發表在1842年到1864年的幾乎每一年的各種雜誌上。後來，一家數學刊物公開徵解，竟然收集並整理了60多種證法，編成一本書。直到1980年，美國《數學老師》月刊還登載了這個定理的研究現狀，隨後又收到了2000多封來信，增補了20多種證法並收到了一個最簡單的直接證法。經過幾代人的努力，100多年的研究，“斯坦納-雷姆斯”定理已成為數學百花園中最惹人喜愛的瑰麗花朵
