斜線長定理

斜線長定理(theorem of lengths of oblique lines)是立體幾何的重要定理之一，從平面外一點向平面引垂線和斜線，則有：(1)若斜線長相等，則其射影長相等；(2)若斜線長較長，則其射影長較長。

基本介紹

• 中文名：斜線長定理
• 外文名：theorem of length of an oblique line
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：立體幾何
• 逆定理：射影長定理

基本介紹

斜線長定理 從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：

1.射影相等的兩條斜線段相等；

2.射影不等的兩條斜線段中，射影較長的斜線段較長；

3.垂線段比任何一條斜線段都短。

圖1

斜線長定理的證明

斜線長定理是指自平面外一點引這平面的兩條斜線和一條垂線，則投影相等，斜線長也相等；投影較長，斜線長也較長。

證明 設AB⊥α，AC、AD、AE是從點A到平面α的斜線，且BC=BD，BE>BC(見圖2)。

圖2

∵AB⊥α，

∴AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥BE，

(1)在直角三角形ABC及ABD中

∵BC=BD，AB為公共邊

∴△ABC≌△ABD，則AC= AD。

(2)∵BE> BC，在BE上截取BF= BC，連線AF

∵BF=BC，

∴AF=AC。

在AB和AE所作的平面內因∠AFE>90°，

∴AE>AF，因而AE>AC。

斜線長定理的逆定理

射影長定理是斜線長定理的逆定理。

從平面外一點向這平面引一條垂線和若千條斜線：

(1)相等斜線的射影相等；

(2)較長斜線的射影較長。

例題解析

【例1】P是直角△ABC所在平面外一點，且PA=PB= PC，又O是斜邊AB的中點，求證：PO⊥平面ABC。

圖3

證明：作PO'⊥平面ABC於O'。

∵PA= PB=PC，由斜線長定理可知：AO'=BO' =CO' ，即O'是△ABC的外心。又由已知O是△ABC斜邊AB的中點可知，O是△ABC的外心，

∴O與O'重合故PO'與PO重合，

∴PO⊥平面ABC。

說明：此題用直線與平面垂直的判定定理亦可證明，但不如用“同一法”證明簡捷。