文氏圖

文氏圖

文氏圖（英語：Venn diagram），或譯Venn圖、溫氏圖、維恩圖、范氏圖，是在所謂的集合論（或者類的理論）數學分支中，在不太嚴格的意義下用以表示集合（或類）的一種草圖。

基本介紹

  • 中文名：文氏圖
  • 外文名：Venn diagram
  • 別名：維恩圖
  • 創作時間：1880年
  • 提出者：維恩
  • 用途：顯示元素集合重疊區域的圖示
定義,起源,例子,類似的圖,擴展,在大眾文化中,參見,

定義

文氏圖（英語：Venn diagram），或譯Venn圖、溫氏圖、維恩圖、范氏圖，是在所謂的集合論（或者類的理論）數學分支中，在不太嚴格的意義下用以表示集合（或類）的一種草圖。它們用於展示在不同的事物群組（集合）之間的數學或邏輯聯繫，尤其適合用來表示集合（或）類之間的“大致關係”，它也常常被用來幫助推導（或理解推導過程）關於集合運算（或類運算）的一些規律。

起源

John Venn 是十九世紀英國的哲學家和數學家，他在 1881年發明了文氏圖。在劍橋大學的 Caius 學院的彩色玻璃窗上有對他的這個發明的紀念。

例子

在文氏圖法中，如果有論域，則以一個矩形框（的內部區域）表示論域；各個集合（或類）就以圓/橢圓（的內部區域）來表示。兩個圓/橢圓相交，其相交部分表示兩個集合（或類）的公共元素，兩個圓/橢圓不相交（相離或相切，而實際上在文氏圖中相切是沒有什麼意義的，因為文氏圖是以圖形的內部區域來表示的）則說明這兩個集合（或類）沒有公共元素。
圖1.集合A, B和C的文氏圖圖1.集合A, B和C的文氏圖
比如黃色的圓圈（集合A）可以表示兩足的所有活物。藍色的圓圈（集合B）可以表示會飛的所有活物。黃色和藍色的圓圈交疊的區域（叫做交集）包含會飛且兩足的所有活物──比如鸚鵡。（把每個單獨的活物類型想像為在這個圖中的某個點）。
人和企鵝會在橙色圓圈中不與藍色圓圈交疊的部分中。蚊子有六足並且會飛，所以蚊子的點可以在藍色圓圈中不與橙色圓圈交疊的部分中。不是兩足並且不會飛的東西（比如鯨和響尾蛇）可以表示為在這兩個圓圈之外的點。在技術上，上面的文氏圖可以解釋為"集合A和集合B之間的聯繫，它們可以有一些（但不是全部）的元素是公共的"。
集合A和B的組合區域叫做集合A和B的並集。在這個個例中並集包含要么兩足、要么會飛、要么兩足並且會飛的所有東西。圓圈交疊暗示著兩個集合的交集非空──就是說在事實上有活物同時在黃色和藍色圓圈中。
文氏圖與其它的圖示法一樣，它不能準確表示一個集合（或類）中到底有哪些元素。
圖2.集合A和B圖2.集合A和B
有時在文氏圖在外面繪製一個方框(叫做全集)來展示所有可能事物的空間。如上提及到的，鯨可以表示為不在並集中但在(活物或所有事物，依賴於你如何選擇對特定圖的全集的定義)全集中一個點。

類似的圖

歐拉圖可能在外觀上同文氏圖是一致的。它們之間的區別只在於它們的套用領域中，就是說在被分割的全集的類型中。歐拉圖展示對象的特定集合，文氏圖的概念更一般的適用於可能的聯繫。文氏圖和歐拉圖沒有合併的原因可能是，歐拉的版本是早在100多年前就出現了的，歐拉已經有了足夠多的成就了，而Venn只留下了這么一個圖。
在歐拉圖和文氏圖之間的區別只是在想法上，歐拉圖要展示特定集合之間的聯繫，而文氏圖要包含所有可能的組合。下面是歐拉圖的一個例子：
在這個例子中，一個集合完全在另一個集合內部。我們說集合A是在世界中能找到的所有的不同類型的乳酪，集合B是在世界中能找到的所有食物。從這個圖中，你可以看出所有乳酪都是食物，但是不是所有食物都是乳酪。進一步的說，集合C（比如說金屬造物）與集合B沒有公共元素（集合的成員），從此我們可以在邏輯上斷言沒有乳酪是金屬造物（或者反過來說）。在形式上，上述的圖可以在數學上解釋為"集合A是集合B的真子集，而集合C和集合B沒有公共元素"。
圖3.集合A, B和C圖3.集合A, B和C
或解釋為一個三段論
  • 所有As是Bs
  • 沒有Cs是Bs
  • 所以，沒有Cs是As
  • 所以，沒有As是Cs。

擴展

歷來有許多把文氏圖推廣到多個集合的嘗試。Venn使用橢圓達到了四個集合但從未滿意他的五集合解法。在一個世紀之後，才找到了一種能滿足Venn關於對稱性的非正式要求。

在大眾文化中

在美國電視劇生活大爆炸（The Big Bang Theory）S1E14中，Leonard不小心買下了巨型時光機，他納悶道：誰會用800元就賣出一台全尺寸的時間機器？ Sheldon回答：在文氏圖中，那是位於“不再想要時間機器”和“需要800元”兩個集合的交接區域。

參見

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